İç Açıortay Bağıntısı, Açıortay oranları

ABC bir üçgen A, B, D noktaları doğrusal D, E, C noktaları doğrusal AE BC AB AC 9 birim EC 6 birim DE 8 birim BD x  Yukarıdaki verilere göre, BD x kaç birimdir? A) 2 B) 3 C) 2 D) 3 E) 5 Çözüm: ABC üçgeni ikizkenar bir üçgen olduğundan; AH yüksekliği aynı zamanda açıortaydır. Bu açıortayı ADC üçgeni için kullanırsak; AD AC 9 x 9 DE EC 8 6 54 6x 72 6x 18 x 3 birimdir. 6
ABC bir üçgen AD ve BE açıortay AE 3 ED Ç ABC 36 br Yukarıdaki verilere göre, BC kaç birimdir? A) 9 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 Çözüm: AE 3 AB 3 olur. BE açıortay olduğundan ED 1 BD 1 AB 3x, BD x olur. AD açıortay olduğundan; AB 3 AC 3 olur. BD 1 DC 1 AC 3t, DC t olur. Ç ABC 4x 4t 36 x t 9 olur. BC x t 9 br olur. 7
ABC bir üçgen AD açıortay m ABC m DEC AB 8 birim EC 8 birim AE 4 birim Buna göre, BC uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: A açısı açıortay olduğundan; |AB| |AC| 8 dir. |BD| |DC| 2 12 |BD| 3 |DC| |BD| 2k ; |DC| 3k diyebiliriz. Açıları a,b ve c diye harflendirince; ABC üçgeni ile DEC üçgeninin iç açılarının eşit oldu – ğunu görüyoruz. Benzerlik uygularsak; |AC| | |BC| 12 DC| |EC| 4 3 2 2 5k 32 5k 32 k k 8 5 4 2 4 10 4 10 k tir. |BC| 5k 5 4 10 5 5 5 21
ABC dik üçgen AB AC AH BC AB 5 birim AC 12 birim m BAD m DAH   Yukarıdaki verilere göre, BD uzunluğu kaç birimdir? A) 3,6 B) 2,4 C) 2 D) 1,8 E) 1 Çözüm: AH 13 2 5.12 2 2 (Alan eşliğinden) 5.12 60 AH 13 13 25 5 BH 13 BH (öklid) 13 BD AB (açıortay) DH AH BD 5 5 DH 60 13 13 60 12 13 12 BD 13k, DH 12k olsun BH 25k olur. 25 1 1 25k k tür. BD 13k 13. 1 dir. 13 13 13 28
ABC üçgen m DAE m EAC BD DA AB AC DE 2 cm EC 3 cm Yukarıdaki verilere göre, AB kaç cm dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 : Çözüm Soruda verilenlere göre eş açılara a, açıortayın açılarına b dersek, AED açısının a b olduğu görülür. AB BE olur. BD x dersek, AD x, AB AC x 2 olur. Şimdi DAC üçgeninde açıortay teoremini uygulayalım. A D DE x AC EC x 2 2 3 3x 2x 4 3x 2x 4 x 4tür. AB x 2 4 2 6 cm bulunur. 31
ABC dik üçgen ACE dik üçgen AE açıortay AB 10 cm AC 15 cm CE x cm Yukarıdaki verilere göre, CE x kaç cm dir? A) 6 B) 5 C) 5 5 D) 3 5 E) 2 5 ÖYS 1994 Çözüm: 2 2 2 2 2 AB DB 10 DB DB 2 tür. AC DC 15 DC DC 3 BC 10 15 BC 225 100 BC 125 BC 5 5 cm DB 2 5 cm DC 3 5 cm Açıları yerleştirirsek; DC CE 3 5 cm bul unur. 34
  ABC dik üçgen AE BD K AB BC EF AC AE açıortay AK BK AB 8 cm EF 6 cm    AD Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? DK 7 7 8 4 A) B) C) D) E) 1 5 4 5 3 Çözüm: Açıortaydan kollara inilen dikmeler, birbirine eşit – tir. |EB| 6 cm dir. ABE üçgeni de 6 -8 -10 üçgenidir. |AE| 10 cm dir. |AK| |KB| olduğundan burada muhteşem üçlü oluşmuştur. |AK| |KB| |KE| 5 cm d ir. ABD üçgeninde açıortay kuralına göre; |AD| |AB| |AD| 8 buluruz. |DK| |BK| |DK| 5 35
ABC üçgen AD açıortay BE / / DF 3 AC 2 AB DF 4 cm Yukarıdaki verilere göre, BE kaç cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Çözüm: 2x 3x [BE] doğru parçasını şekildeki gibi uzatalım. |EK|, ADF üçgeninin orta tabanı olduğundan; 4 cm |EK| 2 cm dir. 2 3|AC| 2|AB| verilmiş. ABC üçgeninde Açıortay kuralına göre; 3x 2 x |BD| |BD| 3k, |DC| 2k olur. |DC| BK // DF olduğundan; KBC üçgeni ile FDC üçgeni arasında benzerlik; 2 k 5k 4 2 2 |BE| 10 |BE| 8 cm dir. 2 |BE| 36
AE ve FD açıortay B, F, C doğrusal AB 9 cm AC 12 cm BE 4,5 cm BD 15 cm DC 6 cm Yukarıdaki verilere göre, FC kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 4,5 D) 5 E) 6 Çözüm: Bu soruyu çözmek için iki kere açıortay kuralını uygulayacağız. AE açıortayına göre; AB AC 9 dir. BE EC 2 4,5 12 6 EC 6 cm dir. EC FC x dersek, EF 6 x olur. FD açıortayına göre; BD DC 15 6 dir. BF FC 4,5 6 x x 15 6 15x 63 6x 10,5 x x 21x 63 x 3 cm b uluruz. 41