Zor Üçgende Açı Soruları

ABC bir üçgen AB BC AC BD m(ABD) 100 Yukarıdaki verilere göre, m(CAD) x kaç derecedir? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 Çözüm: www.matematikkolay.net AB a cm, CD b cm olsun. AB doğrusuna eş AE doğrusunu çizelim. ABE ikizkenar üçgenini oluşturalım.Üçgenin tepe açısı 20 olur. m(EAC) 60 olduğundan, AC doğrusunu a cm lik AF doğrusu ile b cm lik FC doğru su şeklinde ikiye ayıralım. EF doğrusunu çizdiğimizde AEF eşkenar üçgeni oluşur. FC CD olduğundan FD doğrusunu çizelim FCD ikizkenar üçgenini oluşturalım. Açılarını yerleştirdiğimizde EFD ikizkenar üçgen olur. EF FD a br olur. AF FD olur. AFDüçgeni de ikizkenardır. Buradan; 20 2x 20 x 10 bulunur. 2 28
      ABC üçgen BE CD F m(DBE) 24 m(EBC) 30 m(BCD) 30 m(ECD) 36  Yukarıdaki verilere göre, m(DEB) x kaç derecedir? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 Çözüm: www.matematikkolay.net KBF eşkenar üçgenini çizelim. |KD| a ve |DF| b olsun. m(KBF) 90 dir. BFC bir ikizkenar üçgen olduğundan, |FC| a b dir. KBD üçgeni ile FCE üçgeninin açıları aynıdır. Bir kenarları aynı olduğundan b unlar eş üçgenlerdir. Bu sebeple |KD| |FE| a dır. FME eşkenar üçgeni oluşturalım. Kenar uzunlukları a birimdir. |MC| b olur. EMC üçgeni ile EFD üçgeninin iki kenarı eşit (a ve b) ve bu iki kenar aras ındaki açı 120 dir. Buna göre bunlar eş üçgenlerdir. O halde, x m(MEC) 24 buluruz. 30
    ABC üçgeninde AH BC m(HAD) 25 m(ABC) 2.m(ACB) CD 2. BH  Yukarıdaki verilere göre, m(DAC) x kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 Çözüm: www.matematikkolay.net   m ACB a olsun. m ABC 2a olur. Dış açısı 2a olacak şekilde ikizkenar AEB üçgenini oluşturalım. AEC üçgeni ikizkenar olur. DC 2k, BH k olsun. HD t olsun. İkizkenar üçgende yükseklik tabanı 2 eş parçaya böler. HC  2k t EH 2k t olmalı. EB 2k t k k t olur. EAB üçgeninde muhteşem üçlü oluştuğundan, m EAD 90 olur. a 65 90 a 25 olur. ACD üçgeninde iki iç açı bir dış açıyı vereceğinden, x a 65 x 25 65 x 40 bulunur  . 37
ABC üçgeninde AD BC m(ADB) 120 m(BDC) 108 m(DBC) 36 Yukarıdaki verilere göre, m(ACD) x kaç derecedir? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 38 www.matematikkolay.net : Çözüm |BC| |CE| olacak şekilde BCE ikizkenar üçgenini oluşturalım. m(BEC) 36 dir. m(CDE) 180 108 72 dir. CDE üçgeninin iç açıları toplamından; m(DCE) 36 72 180 m(DCE) 72 dir. CDE üçgeni de bir ikizke  nar üçgendir. |DE| |CE| m(ADE) 180 120 60 dir. ADE üçgenin iki kenarı eşit ve bu kenarlar arasın – daki açı 60 ise, bu üçgen bir eşkenar üçgendir. |AD| |DE| |AE| dir. AEC üçgeni de bir ikizkenar üçg  endir. m(AEC) 36 60 96 dir. Diğer iki eş açısı; 180 96 84 42 dir. O halde; 2 2 x 72 42 30 buluruz.   39
    ABC üçgen AE BC m(ABC) 2m(ACB) m(BAD) 66 DC 2 EB  www.matematikkolay.net Yukarıdaki verilere göre, m(DAC) x kaç derecedir? A) 20 B) 24 C) 32 D) 40 E) 42 : Çözüm  m(ACB) a dersek, m(ABC) 2a olur. BE k olsun. DC 2k olur. Üçgenin sol tarafında AFB ikizkenar üçgenini çizelim. AB FB m(AFB) m(FAB) a dir. AFC üçgenini düşünürsek, iki açısı da a dir. Yani ikizkenar bir üçgendir. Dolayısıyla yükseklik indiği kenarı iki eş parçaya ayırır. ED t dersek, FB k t olmalıdır. AB FB AB k t dir. ABD üçgeninde iki kenar k t uzunluğunda oldu. Demek ki m(ADE) 66 dir. ABD üçg eninin iç açıları toplamından; 2a 66 66 180 2a 48 a 24 tür. ACD üçgeninde iki iç açının toplamı; a x 66 olmalıdır. 24 x 66 x 42 buluruz. www.matematikkolay.net 40
ABC bir üçgen, m(DCA) 10 m(DCB) 20 m(ABD) 20 m(DBC) 20 Yukarıdaki verilere göre, m(DAC) x kaç derecedir? www.matematikkolay.net : Çözüm     AC doğrusunu şekildeki gibi uzatalım. DC ye eşit olacak şekilde FD çizelim. FDC üçgeni ikizkenar olduğundan; m(DFC) 10 dir. m(FAB) m(ABC) m(ACB) 40 30 70 dir. m(FBA) olsun. FBD üçgeni ikizkenar olduğu ndan; m(BFD) 20 dir. FBA üçgeni iç açıları toplamından; 20 10 70 180 40 dir. O halde; m(FBD) m(BFD) 60 dir. Yani; ABD üçgeni eşkenar bir üçgendir. Ayrıca, m(BFA) 60 10 70 oldu. Demek ki |BF| |AB| dir. Dolayısıyla |AB| |BD| dir. ABD bir ikizkenar üçgen ise; 180 20 160 m(BAD) 80 dir. 2 2 x 80 70 180 x 30 buluruz.  www.matematikkolay.net 54
Yukarıdaki şekle göre, kaç derecedir? www.matematikkolay.net : Çözüm   m(BCF) 180 70 40 70 dir. BC bir açıortaydır. ADC üçgeninin iç açıortayı BD ile dış açıortayı BC B noktasında kesişiyorlar. Bu sebeple AB doğrusu da açıortay olmak zorundadır. Şekli aşağıdaki gibi döndü   rürsek, ‘yı kuraldan bulabiliriz. www.matematikkolay.net 40 20 buluruz. 2 63
        ABC üçgen, BE açıortay m(BAD) 60 m(DAC) 60 CF DE G  Yukarıdaki verilere göre, m(DGC) x kaç derecedir? A) 100 B) 115 C) 120 D) 130 E) 150 Çözüm: www.matematikkolay.net İç açıortaylar; tek bir noktada kesiştiğinden, C köşesindeki doğru da bir açıortaydır. Bilinmeyen iç açıortay açılarını a ve b diye harflendirirsek, 2a 2b 120 180 a b 30 dur. Dolayısıyla m(BKC) 180 3  0 150 dir. [BA] doğru parçasını, A noktasından uzatırsak; Buradaki açı da 60 olur. Demek ki [AC] doğrusu aynı zamanda BAD üçgeninin bir dış açıortayıdır. Bir üçgende iki dış açıortay ile, bir iç açıo rtay da bir noktada kesişir. Burada da [BE] ile [AE] ‘nin kesiştiği yerde [DE] doğrusu da burada kesişmiştir. Demek ki [DE] doğrusu da bir dış açıortaydır. Kural olarak, Bir dış açıortay ile bir iç açıortay arasındaki açı 60 nin yarısıdır. m(BED) 30 dir. KEG üçgeninde iki iç açının toplamı, diğer dış açıya eşit olduğundan; x 30 150 x 120 dir. 65