Teğetin kestiği diğer nokta

3 2 y x 4x eğrisinin x 2 deki teğeti, eğriyi P(m,n) noktasında kesiyor. Buna göre, m ka A çtır? ) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 www.matematikkolay.net 2 2 İlk türev, teğetin eğimini verir. y’ 3x 8x x 2 için y’ 3.2 8.2 12 16 4 tür. (eğim) x : Çözüm 3 2 3 2 3 2 3 2 2 için y x 4x 2 4.2 8 4.4 0 dır. Eğimi 4 olan ve (2,0) noktasından geçen doğru – nun denklemi; y 0 4(x 2) y 4x tir. y x 4x ile y 4x in kesişim noktası; x 4x 4x   3 2 2 2 teğet nok. x 4x 4x 0 x(x 4x 4) 0 x( x 2 ) 0 x 0 noktasında kesiyor. m 0 buluruz. 63
3 2 f(x) x x 3x eğrisinin başlangıç noktasındaki teğetinin eğriyi kestiği diğer nok tanın apsisi kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2 f ‘(x) 3x 2x 3 Teğetin eğimi: f ‘(0) 3 tür. 0 noktasındaki y değeri f(0) 0 dır. Buna göre; : te Çözüm 3 2 ğet denklemi y 3x tir. Diğer noktayı bulmak için, ortak çözüm yapalım. y 3x yazarak x’i bulabiliriz. y x x 3x 3x x3 x2 3x 2 0 x (x 1)  x 1 buluruz. 71
2 y f(x) x 4x 3 eğrisinin x 1 apsisli noktasın – daki teğeti, tepe noktasından çizilen teğeti K nok – tasında kesiyor. K noktasının apsisi kaçtır? 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 3 4 5 2 12 www.matematikkolay.net 2 Teğetin eğimi f ‘( 1) 2x 4 2 4 6 dır. f( 1) x 4x 3 1 4 3 8 dir. ( 1,8) noktasından geç : en Çözüm 2 ve eğimi 6 olan doğru; y 8 6(x ( 1)) y 8 6x 6 y 6x 2 dir. b 4 Parabolün tepe noktası 2 2a 2 f(2) x 4x 3 4 8 3 1 dir. y 1 doğrusu ile y 6x 2 nin kesişimini bulalım. 1 1 6x 2 6x 3 x bulur 2   uz. 80
www.matematikkolay.net 2 x Yukarıdaki grafikte y parabolü ve bu parabolün 4 A(4, 4) noktasındaki teğeti verilmiştir. Buna gör e, bu teğetin B(7, 0) noktasına en yakın olduğu nok tanın apsisi kaçtır? 5 7 9 A) B) 3 C) D) 4 E) 2 2 2 : Çözüm www.matematikkolay.net Parabolün x 4 noktasındaki türevi, teğetin eğimidir. 2x x y’ dir. 4 2 4 x 4 noktasında y ‘ 2 dir. Te 2         ğetin eğimi 4, 4 noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğru y 4 2 x 4 y 4 2x 8 y 2x 4 0 dır. Teğetin denklemi En yakın uzaklık için bu doğruya bir dik çizmeliyiz. Dik doğruların eğimleri çarpımı 1 olduğundan       bu dikmenin eğimi, 1 m.2 1 m olmalıdır. 2 1 7, 0 noktasından geçen ve eğimi olan doğru 2 1 y 0 x 7 2 7 x y dir. Dikmenin denklemi 2 Teğet denklemi ile kesiştiği yeri bulmak için, bu değeri teğet denklem  inde yazalım. 7 x y 2x 4 0 2x 4 0 2 7 x 4x 8 15 5x 0 0 2 2 x 3 buluruz.    150
3 eğrisinin x 1 apsisli noktasındaki teğeti eğriyi bir başka B noktasın da kest f(x) iğ x ine gö re, B noktasının apsisi kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 www.matematikkolay.net 2 2 3 3 Teğetin eğim denklemi f ‘(x) 3x dir. x 1 noktasında f ‘(1) 3.1 3 tür. x 1 için f( : x) x 1 Çözüm     3 1 dir. 1,1 noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğrunun denklemi: y 1 3 x 1 y 1 3x 3 y 3x 2 dir. y 3x 2 doğrusu ile y x eğrisi nerde ke              3 3 2 3 2 2 x 4x 3 2 2 2 2 2 2 sişir, bulalım. x 3x 2 x 3x 2 0 2x çıkarıp, ekleyelim. x 2x 2x 3x 2 0 x 2x x 2x 4x 2 0 x x 2x 1 2 x 2x 1 0 x 2x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 Kökler x 1 ve x 2 dir. x 1’i biliyorduk zaten. B noktasın ın apsisi x 2 dir. Cevap: A 158
3 f(x) x 1 eğrisine, üzerindeki x 1 apsisli nok – tasından çizilen teğet eğriyi başka bir noktada k esi – yor. Buna göre, bu nok tanın koordinatlarını bulunuz. www.matematikkolay.net 2 2 3 3 Teğetin denklemini elde etmeliyiz. Teğetin eğimi f ‘( 1) 3x 3.( 1) 3 tür. f( 1) x 1 ( 1) : 1 Çözüm 3 2 dir. ( 1, 2) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğru y ( 2) 3.(x ( 1)) y 2 3.(x 1) y 2 3x 3 y 3x 1 doğrusudur. Denklemleri birbirine eşitleyerek kesişim noktasını bulabiliriz. x 1 3x 1 3 3 2 2 x 2 x 3x 2 0 x x 2x 2 0 x(x 1) 2(x 1) 0 x(x 1)(x 1) 2(x 1) 0 (x 1)(x.(x 1) 2) 0 (x 1)(x x 2) 0 (x 1)(x 2)(x 1) 0 Diğer x noktası x 2 dir. x 2 için y 3x 1 3.2 1 7 dur. Kesişim noktası (2, 7) bulu  ruz. 31
www.matematikkolay.net 2 3 3 f(x) lnx eğrisine A(e , 6) noktasından çizilen teğet x eksenini hangi noktada keser? A) (4e , 3 3 3 3 0) B) (2e , 0) C) ( e , 0) D) ( 2e , 0) E) ( 3e , 0)           2 2 2 2 3 3 3 3 x ‘ 2x 2 f ‘ x lnx ‘ tir. x x x 2 Teğetin eğimi f ‘ e tür. e 2 Eğimi olan ve A e ,6 noktasın e : Çözüm           3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 dan geçen doğrunun denklemi; 2 y 6 x e tür. e y 0 için x ne olur, bulalım. 2 y 6 x e e 2 6 x e e 6e 2 x e 3e x e 2e x buluruz. 2e , 0 noktası Cevap: D  www.matematikkolay.net 165