Teğetin Eğimi, Teğetin Denklemi, Normalin Eğimi

4 y 7x k doğrusu x y x 2 fonksiyonunun grafiğine teğet oldu- 4 ğuna göre, k kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) 10 4 Teğet oldukları için iki fonksiyonun eğimleri eşittir. y 7x k doğrusunun eğimi 7 dir. x y : x 4 Çözüm 3 3 3 3 4 4 2 fonkisyonun türevi eğimi verir. 4x y’ 1 4 y’ x 1 7 x 1 8 x x 2 buluruz. x 2 x 2 için, y x 2 y 2 2 4 tür. 4 4 (2,4) noktası aynı zamanda y 7x k doğrusu üstünde 4 7.2 k 4 14 k k 10 buluruz. Doğru C  evap: E şıkkı www.matematikkolay.net 7
www.matematikkolay.net 3 f(x) x 2x 1 fonksiyonunun (2, 9) noktasında teğet olan teğet doğrusunun denklemini bu l unuz? 2 2 f(x) fonksiyonun türevi bize teğetin eğimini verir. f ‘(x) 3x x f ‘(2) 3.2 2 12 2 14 : bu  Çözüm luruz. (2,9) noktasından geçen ve eğimi 14 olan doğrunun denklemi: y 9 14(x 2) y 9 14x 28 y 14x 19 buluruz. 15
2 f(x) 2x x 1 fonksiyonunun apsisi x 2 nok – tasından geçen teğetin eğim ini b ulu ? nuz 2 İlk türev, bize eğim denklemini verir. f(x) 2x x 1 f ‘(x) 4x 1 f ‘( 2) 4.( 2) 1 8 1 : Çözüm 7 buluruz. 19
2 f(x) ax 2x 1 eğrisinin x eksenini kestiği noktalardan eğriye çizi – len teğetler birbirine di k olduğuna göre, a nın değeri kaçtır? 1 1 1 3 5 A) B) C) D) E) 4 3 2 4 4 2 2 1 2 f(x) ax 2x 1 0 ax 2x 1 kökleri bulmak zor olduğundan köklere x ve x diyelim. f ‘ x : (  Çözüm 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 kökler çarpımı ) 2ax 2 x noktasındaki eğim (2ax 2) x noktasındaki eğim (2ax 2) dir. Bunlar dikse, eğimleri çarpımı 1 olmalıdır. (2ax 2)(2ax 2) 1 2(ax 1).2(ax 1) 1 1 (ax 1).(ax 1) 4 a x x a( x 1 2 kökler toplamı 2 1 x ) 1 4 1 2 1 a a 1 a a 4 1 3 a 2 1 a buluruz. 4 4        www.matematikkolay.net 70
www.matematikkolay.net 5 3 x a 0 olmak üzere, f(x) fonksiyonu için x I. x a apsisli noktasındaki teğetinin eğimi 2a dır. II  2 . x a apsisli noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y 2ax a dir. III. f ‘(a) f ‘( a) 0 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 5 5 2 3 3 x x x a için f(x) x f ‘(x) 2x tir. |x | x :  Çözüm 5 5 2 3 3 2 Eğimi 2a’dır. x x x a için f(x) x f ‘(x) 2x tir. |x | x Eğimi f ‘( a) 2.( a) 2a x a için f( a) a dir. Teğet denklemi:    2 2 2 2 y ( a ) 2a.(x ( a)) y a 2ax 2a y 2ax a dir. f ‘(a) f ‘( a) 2a 2a 4a dır. Buna göre sadece I. öncül doğrudur. 25
2 f(x) x x c eğrisi ile y 3x 1 doğrusu birbir – lerine teğet olduklarına göre, c kaçtır? 2 Teğetin eğimini türev alarak bulabiliriz. y 3x 1 y’ 3 tür. f(x) x x c f ‘(x) 2 : x 1   Çözüm 2 2 dir. Bu ikisi birbirine eşit olmalıdır. 3 2x 1 4 2x x 2 dir. x 2 noktasında y 3x 1 3.2 1 7 dir. Bu değerler, eğri denklemini de sağlar. Buna göre; f(2) x x c 7 2 2 c 7 2 c c 5 buluruz.   27
2 2 f(x) ax bx c g(x) bx 1 fonksiyonlarının grafikleri A( 1, 3) noktasında bir – b irlerine teğet olduklarına göre, c kaçtır? www.matematikkolay.net 2 2 A( 1,3) noktası, iki fonksiyonu da sağlayan bir noktadır. Buna göre; g( 1) bx 1 3 b.( 1) : Çözüm 1 3 b 1 b 2 dir. Ayrıca; A( 1,3) noktasında eğimler birbirine eşittir. Yani ( 1, 3) noktasında birinci türevler eşittir. Buna göre; x 1 için; f ‘(x) g'(x) tir. 2ax b 2bx 2 2 2 2a.( 1) b 2b.( 1) 2a b 2b 2a b a 1 dir. f(x) x 2x c dir. A( 1 , 3) noktası bu fonksiyonu sağladığından; f( 1) ( 1) 2.( 1) c 3 1 2 c c 0  buluruz. 30
2 f(x) x x 2 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalarda çizilen teğetlerinin eğimleri çarpım ı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 www.matematikkolay.net 2 x x 2 0 (x 2)(x 1) 0 x ekseni x 2 ve 1 noktasında kesiliyor. f ‘(x) 2x 1 dir. f ‘(2) 2.2 1 : Çözüm 3 f ‘( 1) 2.( 1) 1 3 Çarpımları 3.( 3) 9 buluruz. 37
2 1 1 Tanımlı olduğu aralıkta f(x) x 2x 4 fonksiyonunun tersi f dir. f fonksiyonuna x 7 apsisli no k – tasında çizilen normalin eğimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 www.matematikkolay.net 2 2 x 2x 4 7 ( 7 yapan x değerini bulalım) x 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0 x 3 veya : x 1 f ‘(x) Çözüm 2 1 1 (x 2x 4)’ 2x 2 1 1 1 (f )'(7) veya f ‘(3) 2.3 2 4 1 1 1 (f )'(7) tür. f ‘( 1) 2.( 1) 2 4 Bunlar, teğetin eğimidir. Normalin eğimi ise 4 veya 4 tür. 38
2 f(x) x ax 3 fonksiyonuna üzerindeki x 1 apsisli noktadan çizilen teğet x ekseniyle pozitif yönde 45 lik açı yaptığına göre, a kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1  www.matematikkolay.net Teğetin eğimi tan45 1 dir. f ‘( 1) 1 olmalıdır. 2x a 1 2 a 1 a 3 tür. : Çözüm 79
2 3 x t ve y t 5 eğrisine ait t 2 noktasından çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu kap 2 alı bölg enin alanı kaç br dir? 2 3 2 x t , y t 5, t 2 dx dx dt 1 2 2t dir. dy dt dy 3t 3t dx 2 2 1 t 2 noktasında : eğim dy 3t 3.2 3   Çözüm 2 3 tür. t 2 noktasında, x t 4 ; y t 5 8 5 3 1 (4,3) noktası ve eğimi olan doğru 3 1 y 3 (x 4) tür. 3 4 5 x 0 için y 3 y tür. 3 3 1 y 0 için 3 (x 3) x 6 dır. 3 O halde bu doğr      unun, eksenlerle oluşturduğu alan; 1 2 5 3   6 2 5 br buluruz. 106
2 y x 4 eğrisine A( 1, 2) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarının apsisleri toplamı kaçtır ? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 www.matematikkolay.net 2 Bu teğetlerin eğimi y ‘ 2x tir. Teğetlerin bu eğriye değdiği noktayı (x, x 4) : olarak ifade e Çözüm   2 2 2 2 2 2 debiliriz. (x, x 4) ile A( 1, 2) arasındaki eğim 2x e eşit olmalıdır. x 4 2 2x x 1 x 2 2x x 1 x 2 2x 2x 0 x 2x 2 2 Kökler toplamı 2 buluruz. 1 138
www.matematikkolay.net 3 f ‘(x) fonksiyonunun x 1 apsisli noktasındaki teğeti f(x) x x 1 nin eğimi ka i çtır? A) se, 6 B) 4 C) 2 D) 1 E) 2           3 2 f x x x 1 f ‘ x 3x 1 dir. Soruda f ‘ x in teğeti soruluyor. f x değil Bu sebeple tekrar türev ala : Çözüm     2 cağız. 3x 1 ‘ 6x tir. x 1 için teğetin eğimi 6x 6. 1 6 buluruz. 159
2 y ln(3x 5x a) eğrisinin x 1 apsisli noktasındaki normali x ekseni ile 135 açı yaptığına göre a ka  çtır? T x ekseni ile 135 açı yapıyorsa; normalin eğimi tan135 1 dir. teğetin eğimi ise m .( ) 1 : 1  Çözüm T 2 m 1 dir. 6x 5 6 5 y’ 1 3x 5x a 3 5 a 11 1 a 3 buluruz. 8:00 AM   59
x x e e 2x eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetin d enklemini bul z unu . www.matematikkolay.net   x x x x İlk türev, bize teğetin eğimini verir. e e 2x ‘ e e 2 x 1 için e e 2 2e 2 dir. Eğimi 2e :  Çözüm 1 1 2 olan ve (1,1) noktasından geçen teğetin denklemi; y – y m(x x ) y 1 (2e 2)(x 1) y 1 2ex 2e 2x 2 y x(2e 2) 2e 3 buluruz. 58
f(x) sin(cos5x) fonksiyonunun x apsisli 10 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi aşağıda – kil de er  n hangisidir? A) y 5x 0 B) y 5x 0 2 2 C) y 5x 0 D) y 5x 5 0 2 E) y 5x 5 0      www.matematikkolay.net f(x) sin(cos5x) Teğetin eğimi f ‘(x) (cos 5x)’.cos(cos 5x) : Çözüm   5sin5x.cos(cos5x) dir. x noktasında 10 f ‘(x) 5sin 5 .cos cos(5 ) 10 10 5sin .cos 0 5 tir. 2 x için f(x) sin(cos(5 )) 0 dır. 10 10 ( , 0) noktasından geçen ve eğimi 5 10                             olan doğru – nun denklemini bulalım. y 0 5 (x ) 10 y 5x y 5x 0 buluruz. 2 2     23
x y sin( x) e eğrisine x 1 noktasında çizilen teğet y eksenini hangi noktada keser? A) B) 1 C) 0     D) e 1 E) 2011 LYS 1 /MAT  x x x 1 için y sin( x) e sin( ) e 0 e e (1,e) noktasına eğimi bulalım. y’ cos( x) e y'(1,e c : )      Çözüm 1 os( ) e e (1,e) noktasından geçen ve eğimi e olan doğru; y e ( e )(x 1) y e x e.x e x( e) y 0 x 0 için; y buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı          8