Orjine en yakın nokta

1 y eğrisinin orjine en yakın noktalarının koordi – x natları nedir? 1 1 1 A) , B) 2, C) 1, 2 2 2              1 2 3 D) 2, E) 3, 2 3             www.matematikkolay.net : A(a,b) noktası istenen nokta olsun. 1 Bu nokta y eğrisi üzerinde olduğu için; x 1 A x, x şe       Çözüm 2 2 2 2 3 3 klindedir. Diğer nokta orjin (0,0) İki nokta arası uzaklık denklemini yazalım. 1 d (x 0) 0 olur. Bunun min değerini x bulalım. 1 d x İçerisinin Türevini alarak 0′ a x eşitleyelim. 1 2x 2 0 x 2 ( x       4 x 1) 0 x 1 buluruz Buna göre A noktası (1,1) noktasıdır.  4
2 1 1 1 Yukarıdaki grafikte f(x) 6 x parabolü ve A(x , y ) noktası verilmiştir. Buna göre, x in hangi değe ri için A noktasının baş – langıç noktasına uzaklığı en az olur? 7 22 22 A) B) C) 4 4 2 23 26 D) E) 2 2 www.matematikkolay.net           2 2 2 2 2 2 2 A noktası x,6 x dir. Başlangıç noktası 0,0 olmak üzere; AO x 0 6 x 0 x 6 x dir. : Çözüm           2 ı 2 2 2 2 Türev alıp 0′ a eşitleyelim. Kökün içinin türevini almak yeterlidir. x 6 x 0 2x 2 6 x . 2x 0 2x 4x 6 x 0 2   x 4 2 x     2 2 2 2 2 6 x 1 12 2x 2x 11 11 x 2 11 11 22 x bulunur. 2 2 2    126
x 0 olmak üzere, 9 x y eğrisinin orjine en yakın noktasının orjine olan uzaklığı kaç bi md ri  ir? A) 3 B) 2 C) 3 D) 3 2 E) 6 www.matematikkolay.net En yakın nokta, bu eğri ile dik kesişen bir doğrunun ortak noktasıdır. 9 9 x ise : y tir. y x Çözüm   2 2 2 2 Bu eğriye teğet olan bir doğrunun eğimi; 9 y’ dir. x Bu teğete dik olan doğrunun eğimi m olsun. 9 Dik doğruların eğimleri m 1 olmalıdır. x çarpımı 1 dir. x m dur. 9 x Eğimi olan ve 0,0 9          2 3 3 3 4 noktasından geçen doğrunun denklemi; x x y mx y x y dur. 9 9 x 9 y ile y ün kesiştiği noktayı bulalım. 9 x x 9 x 81 x 3 tür. 9 x 9 9 y 3 tür. x 3 3,3 noktasının orjine olan uzak      2 2 lığı 3 3 18 3 2 dir. 153
www.matematikkolay.net x 0 olmak üzere; 9 16 y ve y x x eğrilerinin orjine en yakın noktaları A ve B olduğu – a n g  öre, AB kaç br dir? A) 1 B) 2 C) 5 D) 2 2 E) 3 Bu tarz eğrilerde, x ve y ‘nin birbirine eşit olduğu nokta, orjine en yakındır.*(İspatı s : onda) Çözüm 2 2 9 y x.y 9 (3, 3) noktası A noktasıdır. x 16 y x.y 16 (4, 4) noktası B noktasıdır. x Buna göre; |AB| (4 3) (4 3) 2 buluruz. İspat : a a y eğrisinin herhangi bir noktası x, x x no         2 4 2 4 2 2 2 2 ‘ 4 2 ktasıdır. Bu nok tanın orjine olan uzaklığı; a x a x a x tir. x x x Türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 4 x a x         2 3 x 2 4 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2x x a x x a x a x a x x x a 0 x a x a olmalıdır. x . x a    www.matematikkolay.net 21