Eğrinin doğruya en yakın olduğu nokta, Doğrunun Eğriye en yakın olduğu nokta

www.matematikkolay.net 2 f(x) x 4x 2 eğrisinin y x 6 doğrusuna en yakın noktasının apsisi kaçt 1 1 3 A) B) C) ı D) 2 E) 2 2 r? 2 5 2 En yakın olduğu nokta, verilen doğrunun eğimine eşit olduğu andır. y x 6 doğrunun eğimi 1 : Çözüm dir. f ‘(x) 1 olduğu x noktasını bulalım. 2x 4 1 2x 3 3 x dir. 2 62
www.matematikkolay.net 2 y 4x 1 doğrusunun y x 8x 15 parabolüne en yakın noktasının apsisi kaçtır? 14 7 8 A) B) C) D) 1 17 8 9 3 E) 7 y 4x 1 doğrusunun eğimi 4 tür. Parabolün en yakın noktasındaki teğetin eğimi bu DOĞRU : nun eği Çözüm     2 mine eşit olmalıdır. Teğetin eğimi y ‘ 2x 8 dir. Eğimleri eşitleyelim. 2x 8 4 2x 4 x 2 dir. x 2 için parabol y 2 8. 2 15 4 16 15 3 tür. Teğeti         n eğimi 4 ise bu eğime dik olan doğrunun 1 eğimi tür. 4 1 2,3 noktasından geçen ve eğimi olan 4 doğrunun denklemi 1 y 3 x 2 4y 12 x 2 4  x 10 y tür. 4 x 10 y 4x 1 ile y doğrularının kesiştiği 4 yeri bulalım. x 10 4x 1 16x 4 x 10 4 14 17x 14 x dir. 17    www.matematikkolay.net 152
2 y x 1 parabolünün y x 1 doğrusuna en yakın noktasının apisi kaçtır? 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 1 2 2 3 3 2 y x 1 doğrusunun eğimi 1 dir. En yakın noktada eğimler birbirine eşittir. y x 1 ise y’ 2 : Çözüm x tir. y’ 1 olmalıdır. 1 2x 1 x buluruz. 2  184
3 y x eğrisinin A(4, 0) noktasına en yakın noktası – nın apsisi kaçtır? 3 1 2 A) B) C) 1 D) E) 2 2 2 3 www.matematikkolay.net       3 3 2 3 2 2 6 6 2 y x üzerindeki bir nokta P x,x şeklindedir. PA x 4 x 0 PA x 8x 16 x PA x x 8x 16 Türev : Çözüm   5 3 2 5 5 4 1 4 alıp, 0’a eşitleyelim. 6x 2x 8 0 2 x x 8x 16 6x 2x 8 0 her tatafı 2′ ye bölelim. 3x x 4 0 x 3x 1 4 x 1 değeri bu denklemi sağlar. Cevap: C  197
www.matematikkolay.net 2 x Yukarıdaki grafikte y parabolü ve bu parabolün 4 A(4, 4) noktasındaki teğeti verilmiştir. Buna gör e, bu teğetin B(7, 0) noktasına en yakın olduğu nok tanın apsisi kaçtır? 5 7 9 A) B) 3 C) D) 4 E) 2 2 2 : Çözüm www.matematikkolay.net Parabolün x 4 noktasındaki türevi, teğetin eğimidir. 2x x y’ dir. 4 2 4 x 4 noktasında y ‘ 2 dir. Te 2         ğetin eğimi 4, 4 noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğru y 4 2 x 4 y 4 2x 8 y 2x 4 0 dır. Teğetin denklemi En yakın uzaklık için bu doğruya bir dik çizmeliyiz. Dik doğruların eğimleri çarpımı 1 olduğundan       bu dikmenin eğimi, 1 m.2 1 m olmalıdır. 2 1 7, 0 noktasından geçen ve eğimi olan doğru 2 1 y 0 x 7 2 7 x y dir. Dikmenin denklemi 2 Teğet denklemi ile kesiştiği yeri bulmak için, bu değeri teğet denklem  inde yazalım. 7 x y 2x 4 0 2x 4 0 2 7 x 4x 8 15 5x 0 0 2 2 x 3 buluruz.    150
x 2 2x 2 f(x) ve h(x) eğrileri arasındaki x 2 1 x uzaklık en az kaç birimdir? A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 3 www.matematikkolay.net 1 x 2 2x 2 f(x) , h(x) x 2 1 x 2x 2 1.(2x 2) 2x 2 f (x) h(x) tir. x 1 1.(1 x) 1 x f(x) eğrisind : e Çözüm 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 ki (x ,y ) noktası ile h(x) eğrisinde (x , y ) noktası arasındaki uzaklık; d (x x ) (y y ) tır. Bu iki fonksiyon, birbirinin tersi olduğundan; y yerine x ; y yerine x yazabiliriz. d (x 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x ) (y y ) d (x x ) (x x ) d 2(x x ) d 2|x x | 2x 2 d 2 x 1 x 2x 2 2.(1 x) ( 1)(2x 2) x türevi 1 0 1 x (1 x) 2 2x 2x 2 1 (1 x) 4 x 1 veya 3 (1 x) 2x 2 8 x 3 için x 3 7 1 x 2 x 1    2x 2 için x 0 ( 1) 1 1 x Buna göre; en küçük d; 2x 2 d 2 x 2.1 2 dir. 1 x www.matematikkolay.net 93