Dış Bükey, İç Bükey, Konveks, Konkav

www.matematikkolay.net 3 f(x) x 3x 1 fonksiyonunun iç bükey, dış bükey olduğu aralıkları ve dönüm noktasını bulunuz. 2 f ‘(x) 3x 3 f ”(x) 6x tir. 0’a eşitleyelim. f ”(x) 0 6x 0 x 0 dır. :   Çözüm     Dönüm noktası x 0 için f(x) 1 dir. Dönüm noktasının koordinatları 0,1 noktasıdır. x 0 için f ”(x) 0 olduğu için dış bükeydir. ,0 x 0 için f ”(x) 0 olduğu için iç bükeydir.       0,  131
www.matematikkolay.net Şekilde y g(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. g(x) üzerindeki hangi harfli noktada g'(x) 0 ve k  onkav (eğrilik yönü aşağı) dır? A) A B) B C) C D) D E) E : Çözüm Şekilde gösterildiği gibi, aradığımız nokta aşağı yön – lü bir bükeyin içinde olmalı ve teğetinin eğimi negatif olmalı. Bu şartlara B noktası uyuyor. Cevap: B www.matematikkolay.net 174
Şekilde f(x) in II. türevi olan f ”(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyon 1 1 u için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f(x) in yerel maksimumu x ise 1 x 3 tür. B) x 1 ve x 3 de dönüm (büküm) noktası vardır. C) x 1 ve x 3 aralığında f ‘(x) 0 dır. D) f(x) in yerel      1 1 minimumu x ise 1 x 3 tür. E) 1 x 3 aralığında f ”(x) 0 dır.      www.matematikkolay.net Bize fonksiyonun ikinci türevi verilmiş. x 1 ve x 3′ te dönüm noktası olduğunu görüyo – ruz. x :  Çözüm 1 ve x 3 için 2.türevin negatif olduğunu, 1 x 3 için ise 2.türevin pozitif olduğunu görüyoruz. Bu bilgilere göre B, C ve E şıkları doğrudur. 2.türevin pozitif olması Konveks (Dış Bükey) demektir. Ko    nveks’ te yerel minimum noktası olabilir. Bu sebeple D şıkkı doğru, A şıkkı yanlıştır. 175
www.matematikkolay.net f(x) cos4x sin4x fonksiyonu aşağıdaki aralıklardan hangisinde konveks (dış bükey) dir? A 4 )  5 3 , B) , C) , 2 2 16 8 5 5 D) , E) , 16 16 8 8                                       f(x) cos4x sin4x fonksyonunun ikinci türevinin 0’dan büyük olduğu aralığı bulalım. f ‘( : x) 4si Çözüm n4x 4cos4x 4(sin4x cos4x) f ”(x) 16(cos4x sin4x) f ”(x) 0 konvekstir. 16(cos4x sin4x) 0 cos4x sin4x 0 cos4x sin4x Aynı açının kosinüsü, sinüsten küçükse bu a      çı 5 ile arasında olmalıdır. 4 4 (Birim çemberden de bakabilir siniz.) 5 5 4x , x , buluruz. 4 4 16 16                    20
www.matematikkolay.net x x fonksiyonunun konveks (dışbükey) olduğu aralık aşağıdakilerden 2e 4e hangi si y dir? 2 A) 5 , 5     4 2 2 B) , C) , 5 5 5 D) , E) 0,                      x x x x x x x İkinci türevi 0’dan büyükse konvekstir. 2e 4e y’ 5 2e 4e y” tir. 5 2e 4e 0 ? 5 2e 4 :  Çözüm   x x x x x x x x 2 e 0 e 2e 0 e 2e 2 e e e 2 her zaman geçerlidir. Buna göre; ( , ) aralığında konvekstir.         61