Çemberin İçindeki Şekiller

2 2 x y 16 çemberinin içine çizilen ve alanı en büyük olan dikdörtgenin çevresi kaç birimdir? www.matematikkolay.net : Çözüm     2 2 2 2 ı 2 x y 16 y 16 x Dikdörtgenin çevresi 2 2x 2 16 x Türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 4x 4 16 x 0 4 4    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 0 2 16 x x 1 x 16 x 16 x x 16 x 2x 16 x 8 x 2 2 dir. Dikdörtgenin çevresi 4x 4 16 x 4(x 16 x ) 4.(2 2 16 8) 4.4 2 16 2 bulunur.       www.matematikkolay.net 72
Yukarıdaki şekilde, yarıçap uzunluğu 4 br olan A merkezli çeyrek daire içine ABCD dikdörtgeni yer – 2 leştirilmiştir. Buna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç br dir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 www.matematikkolay.net : Çözüm 2 2 2 2 2 2 Dikdörtgenin kenarları x ve y olsun. x y 4 16 y 16 x y 16 x dir. Dikdörtgenin Alanı x.y x. 16     2 ı 2 2 x Alanın türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 2 x. 16 x 0 1. 16 x  x 2 2 2 2 2 2 2 x 0 16 x 16 x x 0 16 2x x 8 x 2 2 dir. y 16 (2 2) 2 2dir. Alan 2 2.2 2 8 bulunur.      90
www.matematikkolay.net Şekilde çapı 24 cm olan bir ağaç tan çıkarılacak tahtanın boyutları gösterilmiştir. Tahtanın k esit alanının en büyük olması için eni (w) en fazla kaç cm olur? A) 7 B) 8 2 C) 12 D) 12 2 E) 16 2 2 2 2 2 2 2 2 w h 24 dir. h 24 w h 24 w olur. Tahtanın kesin alanı w.h : Çözüm   2 2 2 2 2 2 w. 24 w Türev alıp, 0’a eşitleyelim. w. 24 w ‘ 0 2 24 w w  w 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 24 w w 24 w 24 w 24 w w 24 2w 24 24. 24 w 2 12 2 2 24.12 2.12.12 2.12 w 12 2 buluruz.  119
www.matematikkolay.net 2 2 Şekildeki yarım çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı nedir? 3 3 A) R B) R C 2 2 2 2 2 2 ) R 3 4 D) R E) R 3 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 2 2 Alan 2x. R x tir. Türev alıp,0’a eşitleyelim. 2 2 R x 2x  x 2 2 2 0 R x 2 2 2 2 R x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x R x R x x R 2x R x dir. 2 Buna göre en büyük alan; R R 2x R x 2 R 2 2 2 R 2 R 2  2 R buluruz. 182
    2 O merkezli çeyrek çemberde, C DB, OA AC , OC 4 cm dir. Buna göre, OAC üçgeninin alanı en çok kaç cm   dir? www.matematikkolay.net 2 2 2 |OA| x dersek , |CA| 16 x dir. x. 16 x Üçgenin alanı 2 Türev alıp, 0’a eşitleyelim : . x. 16 x 2 Çözüm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 1 16 x ‘ 2 16 x 0 2 x 16 x 0 16 x 16 x x 0 16 x x 16 x 16 x x 2x 16 x 8 x 2 2 dir. x. 16 x 2 2. 16 8 8 Alan 4 buluruz. 2 2 2             35
Çapı 8 cm olan bir çemberin içine çizilebilecek mak – simum alana sahip üçgenin çevresi kaç cm olur? A) 16 B) 18 C) 8 3 D) 12 3 E) 16 3 www.matematikkolay.net : Çözüm www.matematikkolay.net Şekildeki gibi bir üçgen çizilecektir. Bu üçgeninin alanını; 2   2 x. 4 16 x 2          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4 16 x dir. Maksimum olduğu noktayı bulmak için türev alıp, 0’a eşitleyelim. x 4 16 x ‘ 0 2x 1 4 16 x x 0 2 16 x 2x 4 16 x 0 2 16 x 2x 4 16 x 2 16 x 8 16 x 2 16 x 2x 8 16 x 32 2x 2x 8 16 x 32 4x 8 1         2 2 2 2 2 4 2 6 x 4x 32 4 ile sadeleştir. 2 16 x x 8 (kare al) 4 16 x x 16x 64 64 2 4 2 4x x 16x 64   2 2 2 2 0 2 0 x 12x 0 x x 12 x 12 x 2 3 olmalıdır. Üçgenin çevresi 3.2x 6x 6.2 3 12 3 cm  www.matematikkolay.net 125
2 Şekilde f(x) x 16 fonksiyonunun ve ABCD yamuğu veriliyor. ABCD yamuğunun alanı en büyük olduğuna göre, DC kaç birimdir? 2 4 8 16 A) B) C) D) 4 E) 3 3 3 3 : Çözüm www.matematikkolay.net       2 2 3 2 2 2 3x x 8 2x 16 x Yamuğun Alanı 2 x 4 .(16 x ) 16x x 64 4x Türevi alıp 0’a eşitleyelim. 16 3x 8x 0 3x 8   4 4 x 16 0 (3x 4)(x 4) 0 4 x tür. 3 4 8 DC 2x 2 bulunur. 3 3   103
Çevresi ( 2) br olan bir yarım çemberin içine çizilebilen maksimum alana sahip yamuğun yüksek ği li  kaçtır? : 2 .r Çevre 2r 2 2 r 2r 2 r( 2) 2 r 1 dir .       Çözüm www.matematikkolay.net     2 2 2 2 2x 1 x Yamuğun Alanı 2 1 x 1 x Türevi alıp 0’a eşitleyelim. 1. 1 x 1         2 2 2 2 2 2 2x 1 x 1 2 2x x 2 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 0 2x x 1 2x 1 x 1 0 1 x 2 1 3 3 h 1 x 1 buluruz. 4 4 2 11
(Resim) www.matematikkolay.net   Yarıçapı 8 cm olan AB çaplı yarım dairenin içine ABCD yamuğu çizilmiştir. Buna göre, ABCD yamuğunun 2 alanı en çok kaç cm dir? www.matematikkolay.net         2 2 2 2 2 16 2x 64 x Yamuğun Alanı 2 8 x 64 x Türev alıp, 0’a eşitleyelim. 2x 1. 64 x 8 x 0 2 64 x x 64 x 8 x 64 x        2 2 2 2 2 2 8 -4 2 64 x 8 x x 64 x 8x x 0 2x 8x 64 0 x 4x 32 0 x 8 x 4 x 4 te maksimum olur. 16 2.4 64 4 Yamuğun Alanı 2 24 48 12 48 12.4 3 2  2 48 3 cm buluruz. 36
www.matematikkolay.net A(4 3, 1) ve orijinden geçen yukarıdaki çemberin çapı en az kaç birim olabilir? A) 7 B) 4 3 C) 3 5 D) 6 E) 3 3 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 |OA| (4 3) 1 48 1 49 7 dir. Çemberin merkezinden bu kirişe dikme indirerek bir üçgen oluşturalım. 2 2 2 2 2 Buradan yarıçapının karesi 7 r x 2 Bu ifadenin en küçük olması için x 0 olmalıdır. (Türev alarak da gösterelim.) 7 x ‘ 0 0 2x 0 x 0 dır. 2 7 Buna göre en küçük r çapı da 7 2                        buluruz. 53
24 cm uzunluğundaki bir telin tamamı kullanılarak daire dilimi elde ediliyor. Buna göre, bu daire diliminin alanının maksimum olabilmesi için daire diliminin yarıçapı kaç cm olmalıdır? 13 17 A) 6 B) C) 7 D) 8 E) 2 2 www.matematikkolay.net : Çözüm a k olsun. 360 Daire diliminin çevresi; r r 2 rk olur. Bu uzunluk 24 cm ise; 2r 2 rk 24 r rk 12 r 1      2 2 2 k 12 12 1 k r 12 k 1 r 12 r k dir. r Daire diliminin alanı; a 12 r .r .r k k.r 360 r         2 r     2 2 12 r r 12r r olur. Maksimum değer için türev alıp, 0’a eşitleyelim. 12r r ‘ 0 12 2r 0 12 2r r 6 cm buluruz.   139
www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde O merkezli çeyrek dairenin içine ABC üçgeni çiziliyor. OA 5 cm OC 10 c 2 m Dairenin yarıçapı 6 5 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı en çok kaç cm dir? 115 125 A) 45 B) 50 C) D) E) 75 2 2 : Çözüm www.matematikkolay.net     köşegenler OAC dik üçgeninde CA 5 5 olur. pisagordan OB 6 5 Yarıçap 1 Dörtgenin Alanı e f sinx 2 OABC dört    1 geninin Alanı 2 5 5. 6         3 2 ı 5.sinx 75.sinx 05.Eki A AOC 25 cm 2 A ABC 75sinx 25 Şimdi türev alalım. 75sinx 25 75.cosx 75cosx 0 cosx 0 x 2 A ABC 75sinx 25    1 2 75.sin 25 2 75 25 50 cm bulunur.  127