Türevin varlığı, Türev için gerekli şartlar, Türev Süreklilik İlişkisi, Türevsiz olduğu noktalar

Türevin varlığı, Türev için gerekli şartlar, Türev Süreklilik İlişkisi, Türevsiz olduğu noktalar
Aşağıda verilen grafiklerde x a noktalarında fonksi – yonların sürekliliğini ve türevlenebilirliğini araştırı – nız. www.matematikkolay.net a) f(x) fonksiyonu x a noktasında sürekli değildir. Fonksiyonun bu noktada türevi : yoktu Çözüm r. b) f(x) fonksiyonu x a noktasında süreklidir. Ancak bu noktada fonksiyon kırılmaktadır. x a noktasından fonksiyona birden fazla teğet çizebileceğinden fonksiyonunun bu noktada türevi yoktur. c) f(x) fonksiyonu x=a noktasında tanımlı değildir. Dolayısı ile fonksiyon x=a noktasında sürekli değildir. Fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. www.matematikkolay.net 175
2 f(x) x 3x fonksiyonu veriliyor. a) f fonksiyonu x 3 noktasında sürekli midir? b) f fonksiyonu x 3 noktasında türevli midir? 2 2 2 f(x) x 3x fonksiyonu parçalı fonksiyon biçi – minde yazılırsa, x 3x , x 0 ise f(x x : )  Çözüm 2 2 2 x 3 x 3 2 3x , 0 x 3 ise x 3x , x 3 ise a) lim x 3x lim x 3x f(3) 0 olduğun – dan x 3 noktasında süreklidir. b) x 3 için f(x) x 3x tir. f ‘(x) 2x 3           2 f ‘(3 ) 2.3 3 3 tür. x 3 için f(x) x 3x tir. f ‘(x) 2x 3 f ‘(3 ) 2.3 3 3 tür. Buradan f ‘(3 ) f ‘(3 ) olduğundan fonksiyon x 3 noktas ında türevli değildir. 176
2 x ax 4 , x 1 ise f(x) 3a b , x 1 ise bx c , x 1 ise fonks iyo        nu, x 1 de türevlenebilir olduğuna göre, a b c kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 2 E) 5 www.matematikkolay.net Türevin olabilmesi için ilk şart sürekliliktir. Yani x 1’e sağdan veya soldan yaklaşıldığınd : a Çözüm x 1 x 1 ki değeri ile x 1’deki değeri aynı olmalıdır. lim f(x) f 1 lim f(x) 1 a 4 3a b b c a 3 3a b b c I.eşitlik Ayrıca, sağdan ve soldan türevler birbirine eşit olmalıdır. x 1 için f ‘(x) 2x a    2:00 AM f ‘(1 ) 2 a dır. x 1 için f ‘(x) b f ‘(1 ) b dir. O halde; 2 a b dir. I.eşitliğe göre; a 3 3a b idi. a 3 2a 2    1 1 1 1 a dır. b 2 a 2 1 1 dir. I.eşitlikten; 3 a b b c 3 1 1 c c 5 dir. Buna göre; a b c 1 1 5 5 buluruz.   117
www.matematikkolay.net Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin x 0 noktasında türevi var dır? x 2 A) y B) y C) y 2x 3 x D) y x 1 E) y x x x A) x=0 noktasına sağdan yaklaşıldığında 3 x 1 ‘ün türevi ; soldan 3 3 :  Çözüm yaklaşıldığında ise x 1 ve türevi olur. Türev yoktur. 3 3 2 B) y= x=0 için tanımsızdır. Türev yoktur. x 1 C) 2x in türevi x=0 için tanımsız, 2x    Türev yoktur. D) y= x 1 x=0 için tanımlı değildir. Türev yoktur. E) y=x x in türevi   1 x 1. x x = x 2 x 2 3 x Türevi olmasını 2 engelleyen bir durum yok.  5
2 a ve b birer gerçek sayı olmak üzere, x 2x , x 1 f(x) ax b , x 1 fonksiyonu x 1 için tür      evli olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) 2 www.matematikkolay.net Sağdan ve soldan türevi aynı olmalıdır. Sağdan f ‘(1) 2x 2 2.1 2 4 tür. Soldan f ‘(1) : a a 4  Çözüm 2 tür. x 1 noktasında fonksiyon sürekli olmalıdır. x 1 için aynı değeri vermelidir. Sağdan f(1) x 2x 1 2 3 tür. Soldan f(1) 4x b 4.1 b 3 b 1 dir. a.b 4.( 1) 4 buluruz.  45
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu aşağıda veri – len aralıklardan hangisinde her noktada türevlidir? A) (-3, 1) B) (1, 5) C) (-3, 5) D) (-1, 3) E) (-1, 1) www.matematikkolay.net Türevin olabilmesi için, fonksiyon sürekli olmalıdır. Grafikte boşluk,atlama zıplama olm : amalı Çözüm dır. Sadece E şıkkındaki aralıkta süreklilik sağlanıyor. Diğer şıklarda ise boşluk olan noktalar var. Bu sebeple cevap:E dir. 49
2 2 3x 2ax , x 1 f(x) 2ax bx , x 1 fonksiyonu her x gerçek sayısı için türevlenebilir olduğuna      göre, a.b çarpımı kaçtır? www.matematikkolay.net 2 2 x 1 için iki fonksiyon da aynı değeri vermelidir. (Süreklilik) x 1 3x 2ax 2ax bx :  Çözüm 3 2a 2a b 3 b 4a dır. x 1 için türevleri eşit olmalıdır. x 1 6x 2a 2a 2bx 6 2a 2a 2b 6 2b 4a ( 3 b 4  a) 6 2b 3 b 3 b a 0 dır. a.b 0.3 0 buluruz. 52
2 3 2x 3a , x 1 f(x) x bx , x 1 fonksiyonu tüm x gerçek sayıları için türevli olduğu – na gör      e, a.b çarpımı kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 www.matematikkolay.net 2 f ‘(1 ) f ‘(1 ) olmalıdır. 4x 3x b 4 3 b b 1 dir. f(1 ) f(1 ) olmalıdır. S : ( Çözüm 2 3 üreklilik) 2x 3a x bx 2 3a 1 b 1 3a b 1 3a 1 a 0 dır. a.b 0.1 0 buluruz.  58
Yukarıda f(x) fonksiyonunun bir parçasının grafiği verilmiştir. f(x) fonksiyonu kaç noktada sürekli olduğu hâlde türevlenemez? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 www.matematikkolay.net Grafikteki kesintisiz sivri uçlarda fonksiyon süreklidir. Fakat türevlenemez.Buna göre; 2 : ve 3 Çözüm noktalarında fonksiyon süreklidir ama türevli değildir. 2 nokta bulunur. 59
2 3 2 f(x) x 3 x 6x 9 x 3x 1 fonksiyonunun türevsiz olduğu noktaların apisleri toplamı kaçtır? www.matematikkolay.net 2 3 2 f(x) x 3 x 6x 9 x 3x 1 x 3 ifadesi için 3 değerine sağdan ve soldan yaklaşıldığında içeris : Çözüm 2 2 i pozitif veya negatif oluyor, sağdan ve soldan türevleri eşit olmuyor.Bu yüzden fonksiyon x 3 noktasında türevlenemez. x 6x 9 (x 3) ifadesi sürekli pozitif olduğundan fonksiyonun değişim gösterdiği 3 2 ı 3 2 2 2 bir nokta yoktur. Her noktada türevlenebilir. x 3x 1 ifadesinin türevini aldığımızda; 2x 3 x 3x 1 ifadesinin paydayı 3 (x 3x 1) 0 yapan değerlerinde tanımsızlık olacağı için bu noktalarda türevlene 2 mez. x 3x 1 0 denkleminin kökler toplamı; b 3 3 tür. a 1 Türevsiz olunan noktaların apsislerinin toplamı; 3 3 6 bulunur. 74
2 f : R R parçalı fonksiyonu 3x 2 , x tam sayıysa f(x) x , x tam sayı değilse biçiminde tanı     mlanıyor. Buna göre, I. f fonksiyonu x 0 noktasında süreklidir. II. f ‘(1) 3 tür. III. x (0, 1) ise f ‘(x) (0, 2) dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II   D) II ve III E) I, II ve III www.matematikkolay.net x 0 x 0 x 0 Süreklilik için lim f(x) lim f(x) f(0) sağlanmalıdır. f(0) 3x 2 2 dir. lim f(x) : li    Çözüm 2 x 0 m f(x) x 0 dır. Üçü birbirine eşit ol – madığından süreklilik yoktur. Tam sayı olan x değerleri için sürekliliğin olmadığı – nı görüyoruz. Bu sebeple tam sayı değerlerde türev yoktur. f ‘(1) 3 yanlışt   2 ır. x, 0 ile 1 arasında ise f(x) x f ‘(x) 2x 0 ile 2 arasındadır. Cevap: B    90
4 0 x 0 f(x) x x 0 fonksiyonu için x 0 da I. f ‘(x) tanımlıdır. II. f ”(x) tanıml      -4 ıdır. III. f ”'(x) tanımlıdır. IV. f (x) tanımlıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) I, II ve III C) I ve IV D) Yalnız I E) Yalnız IV www.matematikkolay.net Türevin olabilmesi için, fonksiyon sürekli olmalı. Ayrıca sağdan ve soldan türev eşit ol : malıd Çözüm 3 2 ır. I. x 0 için f ‘(x) 4x x 0 için f ‘(x) 0 x 0 için f ‘(x) 0 x 0 için f ‘(x) 0 Türev tanımlıdır. II. x 0 için f ”(x) 12x x 0 için f ”(x) 0 x 0 için f ”(x) 0 x 0          4 4 için f ”(x) 0 Türev tanımlıdır. III. x 0 için f ”'(x) 24x x 0 için f ”'(x) 0 x 0 için f ”'(x) 0 x 0 için f ”'(x) 0 Türev tanımlıdır. IV. x 0 için f (x) 24 x 0 için f (x)         4 4 24 x 0 için f (x) 0 x 0 için f (x) 0 Türev tanımlı değildir. Cevap: B    107
2 2 fonksiyonunun türevsiz olduğu noktaların apsisleri – nin t x x opl 12 f(x) x 1 amı kaçtır? A) 12 B ) 1 C) 0 D) 1 E) 12 www.matematikkolay.net 2 2 x x 12 ifadesinde süreklilik nasıl, bakalım. x 1 Payda daima pozitif, sürekliliği : bozacak Çözüm bir yapıya sahip değil. Pay kısmı ya 0, ya da pozitif. Burdan da bozulmaz. Süreklilik açısından bir sorun yok. Payı 0 yapan noktalardaki sağdan ve soldan türevlere bakalım. Muhtemelen burada farklı de  2 2 2 2 2 2 2 ğerler oluşacak ve türevsizlik meydana gelecek. x x 12 x 4 x 3 x 4 x 3 x 1 x 1 x 1 4 x . x 3 x 3 için f x x 1 4 x x 3 dir. x 1 4 x . x 3 3 x 4 için f x x 1    2 2 4 x x 3 dir. x 1 4 x . x 3 4 x için f x tür. x 1 Bu yüzden x 3 ün solunda türev a’ya eşit ise sağında a ya eşit olacak. x 4 ün solunda türev b ye eşit ise, sağında b ye  eşit olacak. Sağdan ve soldan türev birbirine eşit değilse, orda türev yoktur.  Apsisler toplamı 4 3 1 buluruz. www.matematikkolay.net 130
2 2 3 2 2 fonksiyonunun türevsiz olduğu x değ x 3 f(x) x 4x 2 x 5x 2 x erlerinin top – la 3x mı kaçtır? 1 1 A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 2 2 3 2 2 x 3 x 4x 2 x 5x 2 x 3x 11 Mutlak değerin içini 0 yapan değerlerde türev yoktur. Solda : n ve Çözüm 2 2 2 2 sağdan türev farklı olur. x 4x 2 0 b 4 Kökler toplamı 4 tür. a 1 x 3 paydayı 0 yapan x değerleri x 3x 11 bu kesri tanımsız yapar. Dolayısıyla türevi olmaz. 3 x 3x 11 0 Kökler toplamı 3 tü 1   3 2 3 2 2 r. 2x 5 x 5x 2 in türevi dir. 3 x 5x 2 Paydayı 0 yapan x değerinde tanımsız olacaktır. 5 x 5x 2 0 Kökler toplamı 5 tir. 1 Tüm kökleri toplarsak; 4 3 5 6 buluruz.  www.matematikkolay.net 131