Polinomun 2.derece bir ifadeye bölünmesi

P x polinomunun x 3 ile bölünmesinden elde edilen kalan 2, x 2 ile bölünmesinden elde edi – len kalan   2 7 dir. Buna göre, P x polinomunun x x 6 ile bö – lünmesinden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 5 B) x 1 C) 3x 1 D) 5 x E) 2x 2        www.matematikkolay.net 2 2 3 2 P(x)’in x x 6 ile bölümünden kalan ax b şeklinde bir polinom olacaktır. x x 6 3 : x         Çözüm 3 3 -2 2 x 2 olduğundan, x 3 ile bölümünden kalan ax b 2 dir. x 2 ile bölümünden kalan a x b 7 dir. Bu iki denklemden a ve b’ yi bulalım. 3a b 2 1 / 2a b 7                 1 3a b 2 2a b 7 5a 5 a 1 dir. 3 a b 2 3 b 2 b 5 tir. Buna göre; ax b x 5 buluruz. Cevap: D                         50
2 2 P x polinomunun x 3x 4 ile bölünmesinden kalan 2x 5, x 4x 5 ile bölünmesinden kalan 3x 4 tür. Buna       2 göre, P x polinomunun x 9x 20 ile bö – lünmesinden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 5 B) 7x 4 C) 6x 11 D) 6x 17 E) 8x 11          www.matematikkolay.net 2 4 2 x 3x 4 x 4 x 1 dir. x 4 ile bölümünden kalanı bulmak için x 4 yazarız. P(4) 2x 5 13 tür. x :           Çözüm 5 2 2 4x 5 x 5 x 1 dir. x 5 ile bölümünden kalanı bulmak için x 5 yazarız. P(5) 3x 4 19 dur. P(x)’in x 9x 20 ile bölümünden kalan ax b şeklinde bir polinomdur. x 9x 20 x 4 x 5 olduğundan; x 4 ile bölümü                    4 5 nden kalan ax b 13 4a b 13 x 5 ile bölümünden kalan ax b 19 5a b 19 Bu iki denklemi çözelim. 4a b             6 13 5a b 19 taraf tarafa çıkaralım. a 6 a 6 dır. 4a b 13 24 b 13 b 11 dir. Buna göre; ax b 6x 11 buluruz.                    53
2 P x polinomunun katsayılar toplamı 6, sabit terimi 0 dır. Buna göre, P x polinomunun x x ile bölünme – sinden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x B) 6x 1 C) 2x 2 D) 2x E) 2 www.matematikkolay.net 2 2 P(x)’in x x ile bölümünden kalan ax b şeklinde bir polinom olacaktır. x x x x 1 l : o      Çözüm 0 1 duğundan, Sabit terim: x 0 yazılarak bulunur. ax b 0 ise b 0 dır. Katsayılar toplamı: x 1 yazılarak bulunur. ax 0 6 ise a 6 dır.            Buna göre; ax b 6x 0 6x buluruz. Cevap: A     51
www.matematikkolay.net 2 Bir P x polinomunun x 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan a, x x 2 ile bölünmesinden elde edilen    kalan ax 9 olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 1 E) 5     2 2 P 2 a dır. x x 2 x 2 x 1 dir. x x 2 ile bölümünden kalan ax 9 ise, x 2 için P 2 a x :               Çözüm 2 9 eşit olmalıdır. a 2a 9 3a 9 a 3 buluruz.          56
www.matematikkolay.net 3 2 3 2 Bir P x polinomu x 1 ile bölündüğünde 2x x 1 kalanını, x 1 ile bölündüğünde x 3 kalanını veriyor      2 . Buna göre, P x polinomu x 1 ile bölündüğün – de kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 1 B) 3x 1 C) x 2 D) 2x 3 E) 3x 2       www.matematikkolay.net 3 2 3 2 x 1 ile bölündüğünde 2x x 1 kalıyorsa P(x) x 1 A(x) 2x x 1 şeklinde yazılabilir. x 1 ç : i          Çözüm 3 2 0 3 2 3 2 3 2 0 2 in; P(1) x 1 A(x) 2x x 1 2 1 1 4 tür. x 1 ile bölündüğünde x 3 kalıyorsa P(x) x 1 B(x) x 3 şeklinde yazılabilir. x 1 için; P( 1) x 1 B(x) x 3 1 3 2 dir. P(x)’in x 1 ile bölümünd                            2 2 0 2 0 en kalan ax b şeklindedir. P(x) x 1 C x ax b şeklinde yazılabilir. x 1 için; P(1) x 1 C x ax b 4 a b dir. x 1 için; P( 1) x 1 C x ax b 2 a b dir.                          1 toplayınca 2 2b b 1 dir. 4 a b a 3 tür. O halde kalan ax b 3x 1 dir.            68
www.matematikkolay.net P x polinomu x 3 ile bölündüğünde bölüm Q x , kalan 1 dir. Q x polinomu x 1 ile bölündüğün – de kalan 2    2 dir. Buna göre, P x polinomunun x 2x 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 2 B) 2x 4 C) 2x 7 D) 2x 9 E) x 1        P x x 3 .Q x 1 yazılabilir. Q x x 1 R x 2 bu polinomu yukarıya yazalım. P x x 3 . x 1 R x 2 1 olur : . P x x             Çözüm 2 2 Burası tam bölünür 3 x 1 R x 2 x 3 1 x 2x 3 R x 2x 6 1 x 2x 3 R x 2x 7 Kalan 2x 7 buluruz.                    www.matematikkolay.net 34
2 2 Üçüncü dereceden bir P x polinomu x 2x 1 ile tam bölünebiliyor. P x polinomunun x x 2 ile bölümünden     kalan 4x 8 olduğuna göre P x polinomunun baş katsayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1  www.matematikkolay.net 2 Derecesi 1 olmalı 2 2 P(x) x x 2 Q(x) 4x 8 miş x 2x 1 ‘e bölündüğünde kalan 0 mış. x 2x 1 ya :          Çözüm 2 2x 1 ax b 2 2x 1 zıldığında, Polinom 0 çıkmalıdır. x x 2 Q(x) 4x 8 0 2x 1 x 2 Q(x) 4x 8 0 x 3 Q(x) 4x 8 0 (x 3)(ax b) 4x 8 0 a x bx 3ax 3b 4x 8 0 2ax a bx 3ax 3b 4x 8 0 x(2a b 3a 4) a 3b 8 0 x.( a b 4) (a 3b 8)                                                        2 0 a b 4 0 a 3b 8 0 taraf tarafa toplayalım. 4b 4 0 b 1 a 5 tir. P(x) x x 2 5x 1 4x 8 Baş katsayısı 5 tir.                      22
2 3 2 P x polinomunun x 3x 4 ile bölümünden kalan x 1 olduğuna göre, P x polinomunun x 3x 4 ile bölümünd      en kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 17x 15 B) 17x 21 C) 17x 23 D) 15x 17 E) 15x 21      2 3 2 P x polinomunun x 3x 4 ile bölümünden kalan x 1 ise P x ‘ün x 3x 4 ile bölümünden : kalanı bulm      Çözüm 3 3 2 2 2 2 2 3x 4 3x 4 ak için kalanın kübünü alıp, bu ifadenin kalanına bakmak yeterlidir. x 1 x 3x 3x 1 dir. kalanı polinom bölmesiyle bulabileceğimiz gibi x 3x 4 0 x 3x 4 yazarak da bulabiliriz. x. x 3. x 3x 1                 2 2 3x 4 3x 4x 9x 12 3x 1 3 x 8x 11 9x 12 8x 11 17x 23 bulunur.              77
2 Katsayılar toplamı 3 ve sabit terimi 2 olan bir P x polinomunun, x x ile bölümünden kalan aşağıdaki   lerden hangi – sidir? A) 5x 2 B) 5x 2 C) 3x 2 D) 3x 2 E) 4x 2       www.matematikkolay.net 2 Katsayılar toplamı 3 ise P(1) 3 tür. Sabit terim 2 ise P(0) 2 dir. P x in x x ile :      Çözüm 2 2 bölümünden kalan ax b şeklinde bir polinom olacaktır. Yani; P x Q x x x ax b olarak yazabiliriz. hem x 0 için hem de x 1 için x x ifadesi 0 olduğundan bunları kullandığımızda sadece ax b kalacaktır. O ha          2 0 2 biliyoruz 0 2 2 bulduk 3 biliyoruz 0 lde; P 0 Q 0 0 0 a.0 b 2 b dir. P 1 Q 1 1 1 a.1 b 3 a 2 a 5 tir. Buna göre; ax b 5x 2 buluruz.                    79
www.matematikkolay.net P x polinomunun, x 1 ile bölümünden kalan 6, x 1 ile bölümünden kalan 2, x 2 ile bölümünden kalan 3 t    2 2 2 2 2 2 ür. P x polinomunun x 1 . x 2 ile bölümünden kalan nedir? A) 4x 2 B) x x 4 C) x 2x 3 D) x 2x E) x 3x 5           2 Kalan polinom Ax Bx C olsun. P(1) 6 A B C 6 P( 1) 2 A B C 2 P( 2) 3 4 : A                 Çözüm 2 4 2B C 3 Bu üç denklemi çözelim. A B C 6 A B C 2 2A 2C 8 A C 4 tür. A B C 6 B 2 dir. 4A 2B C 3 4A 4 C 3 3A A C 7                                1 2 2 3A 3 A 1 dir. A C 4 C 3 tür. O halde; Ax Bx C x 2x 3 buluruz.              www.matematikkolay.net 24