Bileşik Orantı

Bir grup işçi, bir işi 21 günde bitirebilmektedir. İşçi sayısı %25, günlük çalışma süresi %20 azaltılır, işçilerin kapasitesi de %40 artırılırsa aynı iş kaç günde biter? A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10 Çözüm: İşçi sayısına 100 diyelim. %25 azalınca 75 kalır. Çalışma süresine 100 diyelim. %20 azalınca 80 olur. İşçilerin kapasitesine 100 diyelim. %40 artınca 140 olur. Buna göre bu iş kaç günde biter, bulalım. 1 1 100.100.100.21 75.80.140.x 100  4 . 100 5 . 100 5 .21  75 3 . 80 4 . 140 7 .x 4.5.5.21  3.4. 7.x 4 .5.5  4 .x x  25 buluruz. 33 www.matematikkolay.net Bir miktar bilye üç çocuğa 2, 3 ve 4 sayılarıyla hem doğru orantılı, hem de ters orantılı olarak dağıtıla biliyor.Buna göre, bilye sayısı en az kaç olabilir? A) 87 B) 96 C) 108 D) 117 E) 124  Çözüm: Bu bilyeler 2k,3k ve 4k şeklinde dağıtılabiliyorsa Toplam 9k olur. Yani 9’un katı bir sayı olmalıdır. Ters orantılı olarak da dağıtılabiliyorsa ters orantılı katsayıları bulalım. Ekok(2,3,4)  12 dir. 12 2 ile doğru orantılı olanın ters orantılısı 6 2 12 3 ile doğru orantılı olanın ters orantılısı 4 3 12 4 ile doğru orantılı olanın ters orantılısı 3 4 Yani bu paylara 6k,4k ve 3k diyebiliriz. T       oplamı 13k olur. Demek ki toplam bilye sayısı hem 9’un hem de 13’ün tam katı olmalıdır. En küçük sayıtı 9.13 117 buluruz.  www.matematikkolay.net 36 3 2 a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır. a değeri yarıya indirilip, c değeri 3 kat artırıldığında orantı sabitinin değişmemesi için b nasıl değişir? A) İki kat artar. B) İki katına çıkar. C) Yarıya 3 iner. D) katına çıkar. 2 E) Değişmez.     3 2 3 3 3 2 2 2 3 Çözüm: a c k b Not : c, 3kat artılınca 4c olur. a a sayısı da yapılıyor. Buna göre; 2 a a 2 2 a 4c k 4c c x x b a                     8 16 c2 x  3:00 AM  2 c b  16 1 2 1 8x b x b x 2b olmalıdır. Cevap: b 2 katına çıkar.       www.matematikkolay.net 37 a metre olan bir kumaş 3 ile doğru, 2 ile ters orantılı olarak iki parçaya ayrılıyor. Daha sonra büyük olan parça 2 ile doğru, 4 ile ters orantılı iki parçaya daha ayrılıyor. Buna göre, en küçük parçanın uzunluğunu veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? 8a 4a a 2a a A) B) C) D) E) 21 21 7 21 21 Çözüm: Ayrılan iki parçaya x ve y diyelim. x 2y x 6y dir. 3 a metre kumaş 6y ve y uzunluktaki iki parçaya ay – a 6a rılıyorsa büyük parça 6y uzunluğundadır. 7y 7 Sonra bu büyük parça ikiye ayrı      lıyor. Bu kısımlara c ve d diyelim. c 4d c 8d dir. 2 6a kumaş , 8d ve d olarak ikiye ayrılıyorsa 7 6a 7 6a En küçük parça d 9d 7.9 d       d 6a 2a dir. 63 21   www.matematikkolay.net 38 124 metre uzunluğundaki bir tel 2 ve 4 ile doğru, 5 ile ters orantılı olacak şekilde 3 parçaya ayrılıyor. Buna göre, en uzun parça kaç metredir? A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120 Çözüm: x y 5z eşitliğini kurabiliriz. 2 4 Burada y 20z, x 10z dir. Toplamları 10z 20z z 124 ise 31z 124 z 4           tür. En uzun parça y 20z    20.4  80 buluruz. www.matematikkolay.net 50 5 Bir atölyede, işçi sayısı 4 katına, çalışma süresi 4 katına çıkarılırsa, üretim kaç katına çıkar? Çözüm: İşçi sayısı 4 katına çıkınca üretim de 4 katına çıkar. 5 Çalışma süresi de katına çıkarılınca üretim 4 5 4 5 katına çıkmış olacaktır. 4   56 www.matematikkolay.net a sayısı 2b 1 ile doğru, c 2 ile ters orantılıdır. a 9 ve b 5 iken c 4 ise a 6 ve c 13 iken b kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9        Çözüm: a (c 2) k 2b 1 9 9 (4 2) 6 6 k 6 dır. 2.5 1 9 6 6 (13 2) 6 2b 1                  (13 2) 6 2b 1     2b 1 15  2b 16  b  8 dir. 62 84 sayısı 2 ile doğru 3 ile tersi orantılı olarak ikiye bölünürse bu sayılardan büyük olanı kaç olur? A) 78 B) 72 C) 60 D) 54 E) 48 -3 Çözüm: 2 ile doğru orantılı olan sayı a, 3 ile ters orantılı olan sayı b olsun. a 3b k olur. 2 k a 2k ve b olur. 3 k 2k k 2k 84 84 3 1 3 6k k 84 7k 84.3 3 84 k                12 .3 7 36 dır. Büyük sayı 2k 2.36 72 bulunur.     www.matematikkolay.net 66 www.matematikkolay.net 420 bilye 2 ve 3 ile doğru 4 ile ters orantılı olarak üç çocuğa bölüştürülüyor. En fazla bilye alan çocuk kaç bilye almıştır? A) 160 B) 180 C) 210 D) 240 E) 280 Çözüm: Dağtılılan parçalara a,b,c diyelim. a b 4c bağıntısı ile dağıtılıyorsa; 2 3 a 8c; b 12c ve c dir. Bu üç parçanın toplamı: 21c dir. 21c 420 c 20 dir. En fazla bilye alan b 12c 12.20 240 bu           luruz. 69 ikinci parça 4 ve 3 ile ters orantılı; üçüncü parça 9 Bir ip üç eşit parçaya ayrılıyor. Birinci parça 3 ve ve 5 ile ters orantılı olacak şekilde tekrar parçalar 2 ile doğr a ayrılıy u orantılı; or. Buna göre en küçük parçanın uzunluğu aşağıdaki lerden hangisi olabilir? A) 20 B) 25 C) 28 D) 30 E) 42  www.matematikkolay.net Çözüm: Başlangıçta ipin uzunluğu 3x olsun. 3 eşit parçaya ayrılınca her bir parça x olur. 3 ve 2 ile doğru orantılı paylaşılınca bu parçalar; 2x 3x ve olur. 5 5 3x 4x 4 ve 3 ile ters paylaşılınca ve 7 7  olur. 5x 9x 9 ve 5 ile ters paylaşılınca ve olur. 14 14 x sayısı 5’e ,7′ ye ve 14’e bölünebilen bir sayıdır. Bunların en küçük ortak katı 70 tir. x sayısı 70 ve 70’in bir katı sayıdır. x 70k Parçalardan   5x en küçüğü olduğunda göre; 14 5x 5.70k 5.5k 25k dır. 16 14 Cevap: B    72 72 metre uzunluğundaki bir kumaş, 3 ve 4 ile doğru; 5 ile ters orantılı olacak şekilde üç parçaya ayrılıyor. Buna göre, büyük parça kaç metredir? A) 64 B) 60 C) 56 D) 50 E) 40 www.matematikkolay.net -5 Çözüm: Parçalara sırasıyla x, y,z diyelim. x y z.5 k olsun. 3 4 k x 3k, y 4k, z olur. 5 k 3k 4k 72 5 7k k 7k.5 k 72 72 1 5 5 36k 72 72 k 5                   2 .5 36 10 dur. En büyük parça y 4k 4.10 40 m dir.     73 Bir baba, cebindeki parayı 2, 5 ve 6 yaşlarındaki üç çocuğuna, yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde dağıtıyor. Eğer yaşları ile ters orantılı olacak şekilde dağıtılsaydı en büyük çocuk ilk duruma göre 70 lira daha az para alacaktı. Buna göre en küçük çocuk ilk durumda kaç lira almıştır? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 www.matematikkolay.net 6.5k 6.2k 5.2k Çözüm: Yaşlarıyla ters orantılı paylaştırıldığında ; a .2 b .5 c .6 olur. Toplam 30k 12k 10k 52k olur. Yaşlarıyla doğru orrantılı dağıtırsak; 52:13 4 2 yaşındaki çocuk 2.4 8k 5 yaşındaki çocuk 5.4         20k 6 yaşındaki çocuk 6.4 24k Büyük çocuk ilk durumda 24k ikinci durumda 10k alıyor. 70 24k 10k 14k 70 k 5 liradır. 14 En küçük çocuk ilk durumda 8k 8.5 40 lira alır.          74 Eşit kapasiteli 3 musluk boş bir havuzu günde 10 saat açık bırakılarak 4 günde doldurmaktadır. Buna göre, bu musluklardan 5 tanesi aynı havuzu günde 8 saat açık bırakılarak, kaç günde doldurabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Yapılan iş Yapılan İş İşle ilg ili diğer şeyler İşle ilg ili diğer şeyler 1 1 1 3.10.4 5.8.x 3.10. 4    1 05.Ağu  2 1 .x 3.10  1 10  .x  x  3 gün buluruz. 82 12 kilometre yolu 12 işçi günde 8 saat çalışarak 15 günde bitirebilmektedir. 9 kilometre yolu günde 10 saat çalışarak 4 günde bitirebilmesi için kaç işçi daha işe alınmalıdır? A) 27 B) 25 C) 15 D) 12 E) 9 www.matematikkolay.net Çözüm: Böyle sorularda işi yapmak için gereken tüm unsurlar aynı tarafa iş diğer tarafa yazılarak çözüm yapılır. işçi sayısı x saat x gün iş miktarı İkinci durumda çalışan işçi sayısı x olsun. 12  . 8 2 . 15 3 x. 10 5 . 4 12  x 3.9 27 bulunur. 9 12 işçi var dı 27 işçi olması için ; 27 12 15 işçi daha alınmalıdır.      85 x sayısı (y 1) ile ters ve (z 1) ile doğru orantılıdır. x 3 iken y 4 ve z 5 olduğuna göre, x 4 ve y 7 iken A) 9 B) z kaçtı 10 C) 1 r? 2 D) 13 E) 15        www.matematikkolay.net Çözüm: x sayısı (y 1) ile ters, (z 1) ile doğru orantılıysa; x.(y 1) k olur. z 1 x 3, y 4, z 5 için; 3.(4 1) 3.3 3 5 1 6 2 x 4, y 7, z ? 4.(7 1) 3 4. 6 (z 1) 2                    2 3 (z 1)   2 z 1 8.2 16 z 16 1 15 bulunur.         87 Bir ABC üçgeninin a, b, c kenarlarının uzunlukları sırasıyla 6, 3 ve 4 sayıları ile orantılıdır. Buna göre, bu kenarlara ait yükseklikler sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır? A) 4, 3, 2 A) 3, 2, 4 A) 3, 4, 2 A) 2, 4, 3 A) 2, 3, 4 www.matematikkolay.net a b c a Çözüm: a.h b.h c.h Üçgende Alan dir. 2 2 2 a.h 2     b b.h 2  c c.h 2  a b c a b c a b c a b c a.h b.h c.h a 6, b 3 ve c 4 olsun. 6.h 3.h 4.h bu eşitliği 12k ‘ ye eşitleyelim. 6.h 3.h 4.h 12k h 2k , h 4k ve h 3k olur. Yüksekliklerin 2,4,3 ile orantılı olduğunu                 buluruz. 88 3, 4, 5 ile orantılı olan sayılar sırasıyla hangi sayılar ile ters orantılıdır? A) 6, 8, 10 B) 15, 12, 9 C) 20, 15, 12 D) 12, 15, 24 E) 15, 20, 25 Çözüm: Sayılar a,b,c olsun. Sırasıyla 3,4,5 ile orantılı iseler; a b c k şeklinde yazılabilir. 3 4 5 Her tarafı kesirlerin paydaları çarpımı ile genişletirsek; a 3     3 b .4.5 4  3. 4 c .5 5  3.4. 5 k.3.4.5 a.20 b.15 c.12 60k olur. a,b,c sırasıyla 20,15,12 ile ters orantılı olur.      95 510 sayısı 3 ve 5 ile doğru 2 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılıyor. Bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 300 B) 210 C) 150 D) 120 E) 30 www.matematikkolay.net Çözüm: Parçalara sırasıyla a,b,c diyelim. a b 2.c k 3 5 a 3k b 5k k c 2 a b c 510 k 3k 5k 510 2 k 8k 510 2 8k.2 k 510 2 17                      k  510 30 .2 k 60 dır. Sayıların en büyüğü; b 5k b 5.60 300 bulunur.       103 a, b, c sayıları sırasıyla 3, 4, 6 sayılarıyla ters oran tılıdır. a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarla doğru orantılıdır? A) 3: 4 :2 B) 3:2: 4 C) 4 : 3:2 D) 2: 4 : 3  E) 4 :2: 3 www.matematikkolay.net 4 3 2 Çözüm: a.3 b.4 c.6 k dır. k ekok(3,4,6) 12 dir. a.3 b.4 c.6 12 a:b: c 4 : 3:2 bulunur.           104 2 ile doğru, 3 ile ters orantılı olan iki sayının 21 toplamı ise küçük sayı kaçtır? 8 3 5 9 11 9 A) B) C) D) E) 8 8 8 8 4 Çözüm: x 3y şeklinde yazabiliriz 2 Yani x 6y dir. 21 x y ise; 8 21 3 7y y buluruz. 8 8        107