Grafikten limit okuma

x 0 x 4 x 1 Yukarıdaki şekilde, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının gra – fikleri verilmiştir. I. lim (fof)(x) 5 II. lim (gof)(x) 4 III. lim (gog)(x) 1 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B)          Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III www.matematikkolay.net x 0 Çözüm: I.öncülü inceleyelim. lim(fof)(x) 5 f(f(0 )) f fonksiyonu,0’ın solundaki değerler için 4′ ten fazla değerler alıp, en sonunda 4’e yaklaşıyor. f(0 ) 4 dır. f(f(0 )) f(4 ) 4’ün sağındaki d             x 4 eğerler için , 5′ ten büyük değerler alıp 5’e yaklaşıyor. I. öncül doğrudur. II.öncülü inceleyelim. lim(gof)(x) 4 g(f(4 )) f fonksiyonu,4’ün solundaki değerler için 1’den fazla değerler alıp, en      x 4 sonunda 1’e yaklaşıyor. f(4 ) 1 dır. g(f(4 )) g(1 ) g fonksiyonu ise; 1’in sağındaki değerler için , 1’den büyük değerler alıp 1’e yaklaşıyor. lim(gof)(x) 1 II. öncül yanlıştır. III.öncülü i           x 1 nceleyelim. lim(gog)(x) 1 g(g(1 )) g fonksiyonu,1’in sağındaki değerler için 1’den büyük değerler alıp, en sonunda 1’e yaklaşıyor. g(1 ) 1 dır. g(g(1 )) g(1 ) Yine,1’in sağındaki değerler için             x 1 1’den büyük değerler alıp, en sonunda 1’e yaklaşıyor. lim(gog)(x) 1 III. öncül doğrudur.     47 www.matematikkolay.net [ 1, 6] aralığında f(x) fonksiyonunun limitinin olduğu kaç farklı x tam sayısı var dır?  Çözüm: Bir fonksiyonun limitinin olması için; sağdan ve soldan aynı değere gelmesi gerekir. O noktadaki değeri önemli değildir. (Fonskiyonun uç noktalarında ise tek taraf tan limitinin olması yeterlidir.) x 1 için Sağdan yaklaşılınca limiti 3 olur. Uç nokta olduğu için soldan bakmaya gerek yok . (Limit var.) x 0 için Sağdan ve soldan yaklaşılınca aynı değere ulaşılacak. (Limit var.) Zaten fonksiyo      n grafiğinde bir atlama zıplama yoksa, gözümüz kapalı limiti var diye – biliriz. x 1 için Atlama, zıplama yok . Limit var x 2 için Atlama, zıplama yok . Limit var x 3 için Sağdan yaklaşınca 1, soldan          yaklaşınca 2 farklı değerler (Limit yok) x 4 için Atlama, zıplama yok . Limit var x 5 için Atlama, zıplama yok . Limit var x 6 için Soldan yaklaşılınca limiti 2 olur. Uç nokta olduğu için sağdan            bakmaya gerek yok . (Limit var.) Limit olan noktalar 1,0,1,2,4,5,6 (3 hariç) 7 tane buluruz.    48 www.matematikkolay.net 0 0 0 0 x x f fonksiyonu yardımıyla g fonksiyonu, her x R için g(x ) f(x ) lim f(x) biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, (gof)(3) değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2        0 x 0 x 0 Çözüm: gof(3) g(f(3)) tür. f(3) 0 dır. (f fonksiyonununda 3 değerinin karşılığı 0 dır.) g(f(3)) g(0) Bize verilen g fonksiyonunun tanımında yazalım. g(0) f(0) lim f(x) f(0) 1 dir. lim f(x) f fonksiy            x 0 x 0 onunda 0’a soldan yaklaşmak 0’ın negatif tarafından yaklaşmaktır.Buna göre lim f(x) 2 dir. g(0) f(0) lim f(x) 1 ( 2) 1 bulunur.              50 www.matematikkolay.net x 3 1 Şekilde, y f(3x 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x 2) Buna göre, lim değeri kaçtır? f (x 3) 3 2 1 2 A) B) C) D) E) 1 2 3 5 3         x 3 1 1 1 1 0 1 Çözüm: f(x 2) f(3 2) f(1) lim dır. f (x 3) f (3 3) f (0) f(1) ve f (0)’a ihtiyacımız var. f(3x 1)’in grafiği var elimizde. x 0 için f(3x 1) 2 olduğundan f(1) 2 dir. f (0)’ı da bulalım; f(3x 1)                     1 3 1 0 olduğunda x 3 ise; f(3x 1) 0 f(10) 0 dır. f (0) 10 dur. Buna göre; sorunun cevabını f(1) 2 1 buluruz. f (0) 10 5            52 www.matematikkolay.net x 2 Yukarıdaki şekilde, f fonksiyonun grafiği verilmiştir. g(x) x 1 f(x) olduğuna göre, lim g(x) değeri kaçtır?      www.matematikkolay.net x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Çözüm: lim g(x) lim |x 1|.f(x) lim |x 1| lim f(x) | 2 1|. lim f(x) 1. lim f(x) f(x) fonksiyonunda; x 2’ye sağdan yaklaşınca, 1’e doğru yaklaşıyoruz. 01.Oca 1 buluruz.                                53