Yüzdeli küme problemleri

Bir grup öğrenci fizik ve coğrafya testlerinden oluşan bir sınava girmiştir. Sınava giren öğrencilerin %60’ı coğrafya testinde, %20’si fizik dersinde, %5’i her iki testte de başarılı olmuştur. Buna göre, sınava giren öğrencilerin yüzde kaçı her iki testte de başarısız olmuştur? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 Çözüm: s(F C) s(F) s(C) s(F C) %20 %60 %5 %75 tir. Bu %75 ‘in dışındakiler her iki testte de başarısız olmuşlardır. Yani; %100 %75 %25 buluruz.            88 A kümesinin elemanlarının %40 ı B kümesinin ele – manı değildir. B kümesinin elemanlarının ise %50’si A kümesinin elemanı değildir. Buna göre A B kümesinin eleman sayısı en az kaç olmalıdır?  www.matematikkolay.net Çözüm: A kümesinin %60’ı A B ‘de yer alıyordur. B kümesinin %50’si de A B ‘de yer alıyordur. s(A) %60 s(B) %50 eşitliği sağlanmalıdır. 60 s(A) 100       50 s(B) 100   s(A)6 0  s(B)5 0 En küçük s(A) 5 ve s(B) 6 olabilir. 50 50 s(A B) s(B) 6 100        100 2 3 tür. s(A B) s(A) s(B) s(A B) 5 6 3 11 3 8 buluruz.             94 www.matematikkolay.net A ve B derslerinden en az birinden kalanlardan oluşan 28 kişilik bir sınıfta, A der sinden kalanların %20 si B dersinden de kalmış, B der sinden kalanların %90’ı A der sinden geçmiştir. Bu sınıfta sadece A dersinden kalan kaç kişi var dır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) 24 Çözüm: Her iki dersten kalanlar her zaman aynıdır. Buna göre denklemi kuralım. 20 10 A B 100 100 2A B dir. A x dersek; B 2x tir. 20 20 A B A x 0,2x 100 100 A B 2x x 0,2x 2,8x Tüm sınıf 28 2,8x x 10 dur. sadece                      A’dan kalanlar A (A B) x 0,2x 0,8x 0,8.10 8 buluruz.         12 Bir sınıfın %70 i edebiyat tan %60 ı matematikten geçmiştir. Sınıfın %10 u her iki dersten kalmıştır. Her iki dersten geçenlerin sayısı 20 olduğuna göre, bu derslerin yalnız bir tanesinden geçenlerin sayısını bulunuz. Sınıf mevcuduna x diyelim. %70x %60x %10x Tüm Sınıf 20 dir. %140x %100x 20 %40x 20 40        2 x 20 100  x 50 dir. Yalnız Edebiyat tan geçenler %70x 20 Yalnız Matematikten geçenler %60x 20 Toplamları %130x 40 130 50 40 100 65 40               25 buluruz. www.matematikkolay.net 45 Bir grupta İngilizce veya Almanca bilenlerin %50 si İngilizce, %60 ı Almanca biliyor. Grubun %20 si her iki dili bilmiyor. Grupta İngilizce bilmeyen 30 kişi var sa, Almanca bilmeyen kaç kişi vardır? A) 26 B) 25 C) 24 D) 22 E) 20 www.matematikkolay.net Çözüm: Grubun %20 si her iki dili de bilmiyorsa; %80’i İngilizce veya Almanca bilenlerden oluşur. İngilizce veya Almanca bilenlerin %50’si İngilizce biliyor ise; 80.50 %40’ı İngilizce biliyordur. 100 İngili        zce veya Almanca bilenlerin %60’si Almanca biliyor ise; 80.60 %48’i Almanca biliyordur. 100 İki dili de bilenler; S(A i) s A s İ s A İ S(A i) 40 48 80 8 %8’dir. Grupta İngilizce bilmeyenler; %40+%20=%60 Grupta A             lmanca bilmeyenler; %32 %20 %52 %60lık kısım 30 kişi ise 52 %52lik kısım, 26 kişidir. 2    www.matematikkolay.net 67 Bir sınıftaki öğrencilerin %45 i fizikten geçmiş, %25 i Türkçe’den kalmıştır. Her iki dersten kalan öğrenci – ler sınıfın %10 u dur. Her iki dersten geçen 12 öğren – ci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? A) 60 B) 48 C) 45 D) 40 E) 36 www.matematikkolay.net Fizikten kalanlar ve Türkçeden kalanlar kümesini yukarıdaki gibi çizelim. Her iki dersten kalanlar %10 olduğundan, bu iki kümenin kesişimine %10 yazalım. Türkçeden kalanlar %25 miş. Demek ki sadece Türkçeden kalanlar %15 olmalıdır. Fizikten geçenler %45 miş. O halde Bu iki kümenin dışındaki alan %30 olmalı ki %15 ile toplandığında %45 yapsın. Sınıfın %30’u 12 kişi ise %100 ü x 12 x  4 .10 0 3 0  40 buluruz. www.matematikkolay.net 73 Bir sınıfta İtalyanca bilmeyenler sınıfın %55’i, Fransızca bilenler sınıfın %40’ı dır. Bu iki dilden herhangi birini bilmeyen sınıfın %40’ı ve bu iki dili bilen 5 kişi ise sınıfın mevcudu kaçtır? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 www.matematikkolay.net Sınıfın tamamına 100x diyelim. Venn şemasında olduğu gibi iki dili bilenleri de 5 kişi olarak yerleştirelim. Fransızca bilenler sınıfın %40’ ise 40x olur. Yalnızca Fransızca bilenler 40x 5 olur. İtalyanca    bilmeyenler sınıfın %55’i ise 55x olur. İtalyanca bilmeyenler yalnızca Fransızca bilenler ve herhangi bir dili bilmeyenlerden oluşur. Herhangi bir dili bilmeyenler 55x 40x 5    15x 5 tir Aynı zamanda herhangi birini bilmeyenler %40 ise 40x olur. 40x 15x 5 25x 5 5 1 x tir. 25 5 1 Sınıf mevcudu 100x 100. 20 bulunur. 5            78