Kombinasyon Gerektiren Alt küme soruları

1 2 3 4 5 6 2 1 B {y , y , y , y , y , y } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaçında y veya y yoktur? A) 9 B) 12 C) 16 D) 24 E) 32  www.matematikkolay.net 1 2 3 4 5 6 2 1 2 1 Çözüm: B {y ,y ,y ,y ,y ,y } y ve ya y olmasın demek ikisi birlikte kümede olmasın demektir. 4 elemanlı tüm alt kümelerden y ve y ‘in birlikte oldukları küme sayısını çıkaralım. 6 elemanlı bir kümenin  1 2 1 2 Geri kalan 4 elemandan 2 eleman seçelim. 4 elemanlı alt küme sayısı; 6 6.5 15 tir. 4 2 y ve y nin beraber bulundukları; {y ,y , , } 4 4.3 6 2 2 15 6 9 bulunur.                      66 A { 1, 0, 1, 2, 3, 4} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin tüm elemanlarının toplamı kaçtır? A) 90 B) 84 C) 80 D) 72 E) 64     Çözüm: 6 3 elemanlı alt küme sayısı 20 dir. 3 20 kümede toplam 20.3 60 eleman vardır. A kümesinde 6 farklı eleman var. Demek ki her biri 10 kere kullanılmış. O halde toplamları; 10 1 0 1 2 3 4 10.9                   90 buluruz. www.matematikkolay.net 69 www.matematikkolay.net A {1, 2, 3, … , 2015} kümesinin, eleman sayısı tek sayı olan kaç tane alt kümesi var dır?  Çözüm: Tek sayılı alt kümeler 2015 2015 2015 2015 …. 1 3 5 2015 Bunları toplayalım 🙂 Çok dikkat edilmeyen ama hayat kurtaran bir bilgi n n n 1 Not : r r 1 r 1                                                             2014 2014 2014 2014 2014 2 0 1 2 3 4 2015 2014 2014 Yani ifadesini biz 1 0 1 şeklinde yazabiliriz. O halde; 2015 2015 2015 1 3 5                                                  014 2014 2014 5 2013 2014 2014 2015 …. 2015 2014 2014 2014 2014 …. 0 1 2 2014 2014 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleridir. 2 buluruz.                                         71 M {a,b,c,d,e} kümesinin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 26 B) 24 C) 16 D) 12 E) 8  www.matematikkolay.net Çözüm: En az 3 elemanlı alt küme sayısı demek 3, 4 ve 5 elemanlı alt küme sayılarının toplamı demektir. Bir kümenin belli bir sayıdaki alt küme sayısı kombinasyon ile bulunur. Örneğin bu soruda 5 elemanlı Aşağı inerek 3 sayıyı çarp 3! bir kümenin 3,4 ve 5 elemanlı alt kümelerin sayısı sorulmuş. 5 3 elemanlı alt kümesi kombinasyonu ile bulunur. 3 Nasıl hesaplanır? 5 5.4.3 5. 4 3 3.2.1                2 . 3 03.Şub 5.2 10 dur. .1 5 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 4 5 5. 4.3.2 4                4.3.2 5 tir. .1 5 5.4.3.2.1 5 elemanlı alt küme sayısı 5          5.4.3.2.1 1 tane Toplam: 1 5 10 16 buluruz.     A B kümesinin 8 tane alt kümesi, A B kümesinin 3 elemanlı 56 tane alt kümesi var dır. s(A) 5 olduğuna göre, s(B) kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9    www.matematikkolay.net n n Çözüm: Alt küme sayısı 2 ile bulunur. 2 8 n 3 tür. A B 3 elemanlıdır. A B kümesi x elemanlı olsun. 3 elemanlı alt x küme sayısı kombinasyonu ile bulunur. 3 x x.(x 1)(x 2) 56 3 3                       8 7 6 56 .2.1 x.(x 1)(x 2) 56 6 x.(x 1)(x 2) 7.8 x.(x 1)(x 2) 6.7.8 6 x 8 buluruz. S(A B) s(A) s(B) s(A B) 8 5 s(B) 3 8 2 s(B) s(B) 6 buluruz. Doğru Cevap: C şıkkı                          19 A {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya c eleman olarak bulunur? A) 15 B) 21 C) 30 D) 34 E) 36  www.matematikkolay.net Çözüm: Tüm 4 elemanlı alt küme sayılarından a ve c’nin beraber bulunmadığı 4 elemanlı alt küme sayılarını çıkararak buluruz. 7 7. 6 Tüm 4 elamanlı alt küme sayısı 4         .5. 4 4 . 3.2.1 35 a ve c’nin bulunmadığı 4 elemanlı alt küme sayısı 5 5 tir. 4 Çıkaralım. 35 5 30 buluruz.            23 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı 12 olan bir kümenin en az 10 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 56 B) 64 C) 72 D) 79 E) 84 Çözüm: Bu kümenin n tane elemanı olsun. n 1 elemanlı alt küme sayısı 12 n 12 dir. 1 En az 10 elemanlı alt kümeler : 10,11 ve 12 elemanlı alt kümelerin toplamıdır. 12 12 12 10 11 12                               hesaplayalım. n n Not : a b n ise a b 12 12 12 12 12 12 10 11 12 2 1 0 12                                                          6 .11 02.Oca 121  66 121  79 buluruz. 25 En çok 2 elemanlı 22 tane alt kümesi olan bir kümenin en az 4 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 6 7 Çözüm: Kümenin eleman sayısı n olsun. En çok 2 elemanlı alt kümeleri; n n n 22 0 1 2 n.(n 1) 1 n 22 2 n n 1 n 22 2 2 2n n n 22 2 2 2 2 2n n n 22 2 2 2n n n 44 n n 2 44 n n 42 n(n 1) 42 n=6                                                  dır. En az 4 elemanlı alt küme sayısı: 6 6 6 6.5.4.3 6 1 15 6 1 22 dir. 4 5 6 4.3.2.1                            29 www.matematikkolay.net A {1, 2, a, 3, 5, 7} kümesinin a) 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? b) en az 5 elamanlı alt küme sayısı kaçtır? c) en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? d) 4 elemanlı alt kümelerinin kaçında “3  ” eleman olarak bulunur? e) 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında 3″” ve “”a””” bulunmaz? Çözüm: 6 6.5 a) 15 tir. 2 2.1 b) En az 5 elemanlı alt küme sayısı : 5 elamanlı alt kümeler ile 6 elemanlı alt küme – lerin toplamıdır. 6 6 1 6 7 buluruz. 6 5 c) En çok 2 el                          emanlı alt küme sayısı : 0,1,2 elamanlı alt kümelerin toplamıdır. 6 6 6 6.5 1 6 0 1 2 2.1 1 6 15 22 buluruz. d) “3” elemanının ya                             nına diğer 5 elamandan 3 tane 5 5.4.3 60 eleman seçeceğiz. 10 buluruz. 3 3.2.1 6 e) “3” ve “a” dışındaki diğer 4 elemandan 3’ünü se – 4 çeceğiz. 4 buluruz. 3                  www.matematikkolay.net 39 A kümesinin alt küme sayısı 64, B kümesinin bir elemanlı alt küme sayısı 5, A B kümesinin eleman sayısı 2 ise A B kümesinin iki elamanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 20 B) 24 C) 32 D) 36 E) 45   n n 6 Çözüm: 2 64 2 2 n 6 dır. A kümesi 6 elemanlıdır. n 5 n 5 dir. 1 B kümesi 5 elemanlıdır. s(A B) s(A) s(B) s(A B) 6 5 2 9 dur. 2 elemanlı alt küme sayıs                          9 9.8 ı 36 buluruz. 2 2.1          46 A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en çok iki tane çift sayı bulunur? A) 36 B) 48 C) 63 D) 72 E) 81  www.matematikkolay.net Çözüm: Çift sayılar 0,2,4,6,8 5 tane Tüm sayılar 0,1,2,..,8 9 tane Tek sayılar 4 tane 4 elemanlı alt kümelerden; 4 Hiç çift sayı bulunmayan 1 tane 4 5 4 1 çift sayı bulunan 5. 1 3                           4 20 tane 5 4 2 çift sayı bulunan 10.6 60 tane 2 2 Toplamları 1 20 60 81 buluruz.                    52     A a,b,c,d,e, f,g B a,b,d,e,g,h olduğuna göre, A B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki tane sessiz harf bulunur?    www.matematikkolay.net 2 sesli harfler Çözüm: A B {a,b,d,e,g} 5 elemanlıdır. sessiz harfler b,d ve g’dir. Bu üç harften 2 harfi seçerek oluşturduğumuz kümelerin sayısı 3 2 3.4 12 tanedir. 2 Üç sessiz harfin de kullanıld             2 5 ığı küme sayısı 3 2 1.4 4 tanedir. 3 Toplamlarsak 12 4 16 buluruz. (Not : Kombinasyon hesabını bilmiyorsanız, Tüm alt kümelerden çıkararak da bulabilir siniz. Tüm alt küme sayısı 2 32 0 sessiz har             2 2 2 2 f ile 2 4 sadece b’nin olduğu 2 4, c 2 4 , g 2 4 Sonuç 32 4 4 4 4 16 dır.)             55 A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir çift sayıdır? A) 96 B) 90 C) 84 D) 74 E) 60  www.matematikkolay.net Çözüm: A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı; 9 9 3        3 . 8 4 .7 03.Şub 3.4.7 84 tür. .1 A kümesinin tek elemanları 1,3,5,7,9 5 tanedir. Sadece tek sayılardan oluşan, 3 elemanlı alt 5 5. 4 kümelerin sayısı 3            2 . 3 03.Şub 10 dur. .1 Bunun dışındakilerde mutlaka bir çift sayı buluna – cağından, çarpımları çifttir. O halde cevabı; 84 10 74 buluruz.    60