Mantık

5.sayfaya geçmek için tıklayınız.

Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları

Anlamı bilinen sözcükler, tanımsız terimler ve daha önceden tanımlanmış terimler yardımıyla terimlerin özelliklerini belirtmeye bu terimleri tanımlama denir.
Anlamları bilinen terimler tanımlı ya da tanımsız olabilir.


İyi bir tanımda olması gereken özellikler aşağıdaki gibidir.

I. Anlamı bilinen sözcükler, tanımsız terimler veya tanımlı terimlerle yapılmalıdır.
II. Tutarlı, açık ve anlaşılır olmalıdır.
III. Tanım; belirtilmesi gereken özelliği kapsamalı, başka özellikleri kapsamayacak biçimde kesin olmalıdır.

Her bilim dalının kendine özgü sözcükleri vardır. Bu sözcüklere o bilim dalına ait terim denir.

Asal sayı, açı, üçgen, dörtgen gibi kavramlar matematiksel birer terimdir. Bu terimler diğer matematiksel terimler yardımıyla tanımlanabilir.
Bu tür terimlere tanımlı terimler denir.
Çeşitli örnekler ile sezgiler kullanılarak kavranabilen terimlere tanımsız terim denir. Nokta, doğru, düzlem, küme kavramları tanımsız birer terimdir.

Örnek 36

“İki ya da daha çok kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir.” Bu tanımda kullanılan terimleri yazınız.

Çözüm

Verilen birleşim kümesi tanımında küme ve eleman terimleri kullanılmıştır.

Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere aksiyom denir. Aksiyomlarda bulunması gereken özellikler aşağıdaki gibidir.

I. Birbirleri ile çelişmemelidir.
II. Birbirlerinden bağımsız olmalıdır. (Bir aksiyom diğer aksiyomlardan çıkarılmamalıdır.)
III. Mümkün olduğu kadar az sayıda olmalıdır.

Örnek 37

p : ‘‘A noktası d doğrusunun dışında bir nokta ise A noktasından geçen ve d doğrusuna paralel olan yalnızca bir doğru vardır.’’ önermesinin aksiyom olup olmadığını bulunuz.

Çözüm

Bu önerme kendisinden önceki tanım, teorem ya da aksiyomlarla ispatlanamaz. Bu durumda p önermesi aksiyomdur.

p ve q önermeler olmak üzere p önermesi doğru iken \displaystyle p\Rightarrow q önermesinin doğruluğu ispatlanabiliyorsa \displaystyle p\Rightarrow q önermesi bir teoremdir. Başka bir ifadeyle doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem denir.
\displaystyle p\Rightarrow q teorem olmak üzere p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir.

Örnek 38

Teorem : ‘‘ABC üçgeni eşkenar üçgen ise ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbirine eşittir.’’
Yukarıda verilen teoremi \displaystyle p\Rightarrow q şeklinde ifade ederek teoremin hipotezini ve hükmünü belirtiniz.

Çözüm

p : ‘‘ ABC üçgeni eşkenar üçgendir.’’ ve q : ‘‘ ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbirine eşittir.’’ alınırsa verilen teorem \displaystyle p\Rightarrow q şeklinde ifade edilmiş olur. Bu durumda

teoremin hipotezi p : ‘‘ ABC üçgeni eşkenar üçgendir.’’ önermesi olurken

hükmü q : ‘‘ ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbirine eşittir.’’ önermesi olur.

Not:

Bir teoremin doğru önerme olduğunu göstermeye teoremin ispatlanması
denir. \displaystyle p\Rightarrow q teoreminde p önermesi doğru olduğundan teoremi ispatlamak için q önermesinin doğru olduğunu göstermek gereklidir. Teorem ispatlanırken teoremde verilenlerden (hipotezlerden), daha önce ispatlanmış teoremlerden, tanımlardan ve aksiyomlardan yararlanılır.

Alıştırma-1
Teorem, Hipotez, Hüküm

Bir teoremin hipotezi ile hükmünün doğru önermeler olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Tanıma bakalım. 

p ve q önermeler olmak üzere p önermesi doğru iken \displaystyle p\Rightarrow q önermesinin doğruluğu ispatlanabiliyorsa \displaystyle p\Rightarrow q önermesi bir teoremdir. Yani

\displaystyle \underbrace{p}_{1}\Rightarrow q\equiv 1 ise bu önerme bir teoremdir. Bunun gerçekleşebilmesi için de \displaystyle q\equiv 1 olmak zorundadır. Eğer \displaystyle q\equiv 0 olursa \displaystyle \underbrace{p}_{1}\Rightarrow \underbrace{q}_{0}\equiv 0 olur ve teorem düşer. Özetlersek,

\displaystyle \underbrace{p}_{1}\Rightarrow \underbrace{q}_{1}\equiv 1 şeklinde olmalıdır.

 

 

Alıştırma-2
Tanım, Terim

‘‘Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.’’ ifadesinin iyi bir tanım olup olmadığını belirterek kullanılan terimleri bulunuz.

Çözüm

Verilen çember tanımında düzlem, nokta ve küme terimleri kullanılmıştır.

İyi bir tanımdır. Çünkü;
I. Çember tanımı, terimler kullanılarak yapılmıştır.
II. Tutarlı, açık ve anlaşılırdır..
III. Tanım; belirtilmesi gereken özelliği kapsayacak, başka özellikleri kapsamayacak biçimdedir.

 

Alıştırma-3
Teorem, Hipotez, Hüküm

\displaystyle (p'\vee q)\Rightarrow r teoreminin hipotezi olan önerme ile hükmü olan önermeyi belirtiniz.
Bu teoremin doğruluğunu göstermek için hangi önermenin doğruluğunu göstermenin yeterli olduğunu bulunuz.

Çözüm

Hipotez: \displaystyle (p'\vee q)

Hüküm: \displaystyle r

Hipotez doğru olduğundan, r önermesinin doğru olduğu göstermek yeterlidir.

Alıştırma-4
Teorem mi? Aksiyom mu?

p : ’’iki tek sayının çarpımı tek sayıdır.’’

Çözüm

Teoremdir.

Hipotez: x ve y tek sayıdır.

Hüküm: x.y tek sayıdır.

x ve y tek sayı olduğunda, x.y tek sayıdır. Yukarıdaki önerme hipoteze dayalı olarak ispatlanabildiği için bir teoremdir.

\displaystyle r:\text{ }''x=2\text{ }\Rightarrow \text{ }{{x}^{2}}-4=0\text{ }d\imath r.''

Çözüm

Teoremdir.

Hipotez: \displaystyle x=2 dir.

Hüküm: \displaystyle {{x}^{2}}-4=0 dır.

\displaystyle x=2 olduğunda, \displaystyle {{x}^{2}}-4=0 dır. Yukarıdaki önerme tanıma dayalı olarak ispatlanabildiği için bir teoremdir.

s : ‘‘ İki üçgen eş ise benzerdir.’’

Çözüm

Teoremdir.

Hipotez: İki üçgen eştir.

Hüküm: İki üçgen benzerdir.

‘ İki üçgen eş ise benzerdir.’’ Yukarıdaki önerme aksiyoma dayalı olarak ispatlanabildiği için bir teoremdir.

Konu Bitti. Mantık Üst Başlık için Tıklaynız.

Sayfalar: 1 2 3 4 5 6

“Mantık” üzerine 4 yorum

  4. Hocam merhabalar yeni başlamış bir öğretmen olarak bilgilerinizden faydalanırken her seferinde Allah razı olsun diyorum işimi çok kolaylaştırıyor Teşekkür ederim böyle net anlatım ve bilgiler için .

Yorum yapın