İki eğri arasındaki alan, Eğri ile doğru arasındaki alan

2 2 2y x parabol ile x y 4 0 doğrusu ü ı ı ığ nun s n rlad ı bölgenin alanı kaç br dir? www.matematikkolay.net 2 2 2 2 x 4 x 2 Kesişim noktalarını bulalım. 2y x x x y 4 0 x 4 0 2x x 8 0 2 x 2x 8 0 ( x 4)(x 2) 0   2 4 2 2 3 4 2 2 x 4 ve x 2 dir. Buna göre; taralı alan x 2 ile 4 noktaları arasında; y x 4′ ten x y ‘ye uzanan alandır. 2 x x x x 4 dx 4x 2 2 6 32 4 32 4 8 16 2 8 24 6 3 3 3 3 24  32 4 36 6 30 30 12 18 buluruz. 3 3 3 14
3 2 y x eğrisi ile y x doğrusu arasındaki bölgenin alanı kaç br dir? www.matematikkolay.net 3 3 3 2 y x ile y x’in kesişim noktalarını bulalım. x x x x 0 x(x 1) 0 x(x 1)(x 1) 0 kök     3 1 3 0 1 1 2 4 3 0 0 ler 1,0 ve 1 dir. x ile x arasındaki alan aşağıdaki şekildeki gibidir. (x x )dx integralini hesaplayıp, 2 ile çarpmamız yeterli olacaktır. (2 eş alan olduğu için) x x (x x )dx 2 4 1 1 1 tür. 2 4 4 1 1 2 katını alınca 2 buluruz. 4 2  16
www.matematikkolay.net 1 2 2 1 2 Şekilde S ve S bulundukları kapalı bölg enin alanlarını göstermektedir. S S 24 br ve f(x)g(x) 5 4 2 2 dx 10 olduğuna göre, S kaç br dir? A) 17 B)15 C) 14 D) 13 E) 12 www.matematikkolay.net 5 5 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 2 2 f(x) g(x) dx g(x) f(x) dx S S 10 S S 10 S S 10 S S 24 2 : S 34 S 17  Çözüm 5 4 5 1 2 4 5 5 2 1 4 4 buluruz. NOT : f(x)dx A B dir. g(x)dx S A B S dir. f(x)dx g(x)dx S S olur. 28
www.matematikkolay.net 2 2 2 Denklemleri y x ve y 8x olan eğrilerin sınırla – dığı bölg enin alanı kaç br dir? 8 16 A) B) C) 2 D 3 3 ) 3 E) 4 www.matematikkolay.net 2 Kesişen yerlerin apsislerini bulalım. y x denkleminin karesini alıp, diğer denkleme eşitleyelim. y 2 4 2 4 4 3 2 x ve y 8x x 8x x 8x 0 x x 8 0 x 0 ve x 2 dir. 0’dan 2’ye kadar integral alacağız. y 8x denklemini y 8x olarak ifade edebil   2 2 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 0 0 0 3 2 iriz. x ve y pozitif olacağından 8x eğrisi x eğrisinden daha büyük değerler aldığı için 0 – 2 arasında 8x ile x eğrileri arasında kalan alan; x x 8x x dx 8x x dx 8 3 3 2 2 8 2 8 8 3 3 3 2 8 16 8 8 8 buluruz. 3 3 3 3 45
www.matematikkolay.net 2 2 f(x) (x 3) eğrisi ile d doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br dir? A) 12 B) 18 C) 27 D) 36 E) 45 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 2 x 3 eğrisi y eksenini nerde kesiyor, bulalım. x 0 için x 3 0 3 9 dur. Buna göre d doğrusu y 2 6 2 2 0 9 doğrusudur. Eğri ile doğrunun diğer kesiştiği noktayı bulalım. x 3 9 x 3 3 x 6 noktasıdır. Şimdi doğrudan , eğriyi çıkararak integral aldığımızda aradaki alanı bulabiliriz. 9 x 3 dx 9 x  6 0 6 3 6 2 2 0 0 3 2 6x 9 dx x 6x x dx 3x 3 6 3.6 108 72 36 buluruz. 3 48
www.matematikkolay.net Şekildeki x eksenini orjinde ve (4, 0) noktasında ke – sen parabolün tepe noktası y 8 doğrusu üzerin 2 de – dir. y ekseni, parabol ve y 8 doğrusunun sınırladığı taralı bölg enin alanı kaç br dir? 4 8 16 22 32 A) B) C) D) E) 3 3 3 3 3 www.matematikkolay.net 2 2 Tepe noktası 2,8 dir. y a x 2 8 0,0 dan geçiyor 0 a 0 2 8  2 2 2 2 2 3 2 2 0 0 a 2 dir. y 2 x 2 8 2 x 4x 4 8 2x 8x 8 8 2x 8x parabolün denklemi Taralı Alan y 8 doğrusu ile parabol arasında kalan alan. A B 2.8 16 dır. 2x A 2x 8x 4x 3    2 16 32 16 3 3 32 16 B 16 A 16 buluruz. 3 3 54
www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde verilen taralı bölgenin alanı aşağıdaki hangi integral yardımıyla bulunabilir? 4 4 2 2 0 0 4 4 2 2 0 0 4 2 0 A) 16 x x 4 dx B) 16 x x 4 dx C) x 4 16 x dx D) x 4 16 x dx E) x 4 16 x dx www.matematikkolay.net Taralı alanı kapsayan üst çizgiden, alt çizginin çıkarılması gerekir. Sonra integral alı : nır. Ü Çözüm 1 2 2 2 stte bulunan bir doğrudur. Bunun denklemini bulalım. x y x y 1 1 x y 4 4 4 4 y x 4 tür. Çemberin denklemi x y 4 şeklindedir. Tara     2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 0 0 lı bölg ede x pozitif, y negatiftir. Buna göre, y’ yi ifade edelim. x y 4 y 16 x y 16 x tir. Şimdi, çıkararak integral alabiliriz. x 4 16 x x 4 16 x   4 2 0 16 x x 4 buluruz. A 38
www.matematikkolay.net 2 y cosx ve y sinx eğrileri arasında kalan taralı alan kaç br dir? A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 3 www.matematikkolay.net Önce sinx ve cosx’ in kesişim noktalarını bulalım; sinx cosx tanx 1 dir. 5 x ve olur. 4 4 4 (si   5 4 5 4 4 4 nx cosx)dx cosx sinx 5 5 cos sin cos sin 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bulunur. 19
www.matematikkolay.net 2 2 2 2 Yukarıdaki grafikle gösterilen taralı bölgenin alanı kaç br dir? A) (e 1) B) e C) e 1 2 2 D) e 2 E) (e 1) www.matematikkolay.net x 2 x x 2 x y e ile y e eğrilerinin kesiştiği yeri bulalım. e e x 2 x 2x 2 x 1 di    2 x x 1 1 2 x x 0 0 2 x 1 x 1 0 0 1 2 1 0 r. e in altında e in altında Taralı alan kalan alan kalan alan e .dx e .dx e e e e e e 2 2 2 2 e e e 1 e e e 1 e 2e 1 e 1 buluruz. 41
www.matematikkolay.net 2 Yukarıdaki şekilde verilen taralı bölg enin alanı kaç br dir? 3 3 A) 3ln2 B) ln2 C) ln2 2 2 3 3 D) 3ln2 E) 2ln2 2 2 www.matematikkolay.net Kesişen yerlerin apsislerini bulalım. 1 1 4x x x 2 4 4x x 1 x 1 x x 1 x 4 x x 2 x Taralı alan     1 2 2 2 2 1 01.Şub 1 1 1 2 A B 1 4 x 4x x 2x lnx 4lnx x x 2 1 1 1 2 ln1 ln 4ln2 2 4ln1 2 2 2 1 2 2 1 ln2 4ln2 2 2 3ln2 buluruz. 44
Bir f fonksiyonunun türevi olan f ‘(x) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibi bir paraboldür. Taralı o 8 larak verilen A bölgesinin alanı birimkare 3 olduğuna göre, f(2) f(0) farkı kaçtır? 2 3 3 10 16 A) B) C) D) E) 3 2 2 3 3 www.matematikkolay.net www.matematikkolay.net 2 8 Buna göre A B 3 8 dir. 3 Grafikteki parabolun denklemini bulalım. r 2 dir. a(x 2) k x 1 içi  2 2 2 n a(1 2) k 0 k a dır. Buna göre parabol denklemi; a(x 2) a şeklindedir. x 0 için 3a dır. A B 4a.2 8a dır. (Dikdörtgenin alanı) A B 8 idi. a 1 buluruz. f ‘(x) (x 2) 1 dir. f(     3 3 3 (x 2) x) x C dir. 3 Buna göre; (2 2) (0 2) f(2) f(0) 2 0 3 3 8 2 2 buluruz. 3 3 13