Bu bölümde Türevin Varlığı ve Süreklilik ile ilgili 17 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
10.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
TÜREVİN VARLIĞI VE SÜREKLİLİK www.matematikkolay.net 1) 6 2 x 1 x 5 x 1 f(x) 3x 6 x 1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) limf(x) yoktur. B) f'(1 ) f'(1 ) dir. C) f(1) f'(1) dir. D) f(x) fonksiyonu x 1 de sürekli değildir. E) f'( 1) 6 d ır. ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 x 1 6 x 1 Şıklara sırayla bakalım. x 1 noktası kritik nokta olduğu için soldan ve sağdan limitlere bakalım. lim (3x 6) 3 6 3 Farklı olduğu için x 1 de lim (x 5) 1 5 6 dır. limit yoktur. A şıkkı doğr x a x a u. Ayırca x=1 de sürekli değildir. D şıkkı da doğru. Limit gibi, bir noktada sağdan ve soldan türeve bakılabilir. f(x) f(a) Soldan Türev lim f'(a ) x a f(x) f(a) Sağdan Türev lim f'(a x a Not : 6 5 1 2 1 6 1 ) dır. f'(1 ) (x 5)’ 6x f'(1 ) 6 dır. f'(1 ) (3x 6)’ 6x f'(1 ) 6 dır. Sağdan ve soldan türevler birbirine eşittir. B doğru. f(1) x 5 1 5 6 dır. f'(1) için ise aynı şeyi söyleyemey eceğiz. Bir noktada türev var, diyebilmemiz için fonksiyon o noktada olmalı ayrıca olmalıdır. f(x) fonksiyonu x 1 de sürekli olmadığından x Not : tanımlı ve sürekli soldan ve sağdan türevler birbirine eşit 1 de türevi yoktur. (f'(1 ) f'(1 ) eşit olması yeterli değildir.) Bu sebeple C şıkkı hatalıdır. x 1 de süreklilik vardır. Sağdan ve soldan türev alırken de hep aynı parça fonks Cevap : C 6 5 1 iyonu kullanacağız. Bu sebeple türevi olacaktır. f'( 1) (x 5)’ 6 x f'( 1)= 6 dır. Şartlar düşünüldüğünde en ağır şart, türevlilik şartlarıdır. Yani bir fonksiyonunun x a da türevi varsa, Not : Bu fonksiyon x a da, * Limiti vardır. (Sağdan ve soldan limitler eşittir.) * Tanımlıdır. * Süreklidir. * Sağdan ve soldan türevleri birbirine eşittir. Bunlardan biri bile sağlanamazsa türevi yoktur. 2) 4 f(x) x 16 olduğuna göre, f(x) kaç tam sayı değeri için türevsizdir? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 4 4 En geniş tanım aralığını bulalım. x 16 0 x 16 x 2 x 2 ya da x 2 olmalıdır. f(x), tanım kümesinde sürekli bir fonksiyondur. Türev aldığımızda, 4 f'(x) 2 3 x 2 3 4 4 2x olur. x 16 x 16 Paydayı 0 yapacak değerler yazdığımızda fonksiyo – nun türevi reel bir sayıya eşit olamaz. Bu sebeple x 2 ve x 2 değerlerinde de türev yoktur. Tanım kümesindeki diğer noktalarda ise soldan ve sağdan türev aynı gelecektir. O halde, tam sayı olarak 2, 1, 0, 1 ve 2 de türev yoktur. 5 değer. Cevap: E Bir fonksiyonun olabilecek en geniş tanım aralığındaki uç noktalarında Not : türevi olmaz. Örnek : x 1 in x 1 de türevi yoktur. Örnek : [2, 3] aralığında tanımlı x 1 in x 2 de türevi vardır. (x 2, olabilecek en geniş tanım aralığının uç noktası değildi r.) 3) 3 2 a ve b birer reel sayı olmak üzere, x 3 x 2 f(x) ax b x 2 fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu reel sayılarda türevli ise, a b kaçtır? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 Türevli ise her noktasında, soldan ve sağdan türevler birbirine eşittir. x 2 için bakalım. f'( 2 ) 3 x 3.4 12 ise, f'( 2 ) 12 olmalıdır. 2a x 12 4a 12 a 3 tür. Türevli ise aynı zamand 3 2 3 a süreklidir. f( 2 ) x 3 8 3 11 dir. f( 2 ) 11 olmalıdır. 4a b 11 12 b 11 b 1 dir. Buna göre, a b 3 ( 1) 2 buluruz. Cevap : B 4) Yukarıdaki şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonunun kaç noktada türevi yoktur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM: x 5 noktasında sürekli olmadığı için türevi yoktur. x 3 noktasında süreklidir ancak, soldan ve sağdan türevler farklı olacağı için burda da türev yoktur. (Türev demek, teğetin eğimi demektir. x= 3 te d e soldan ve sağdan eğimler farklı olacaktır.) Grafiklerde sivri uç, kırıklık, köşe görüyorsak buralarda direkt türev yok diyebiliriz. x 0 noktasında da bir kırık var. Bu sebeple burda da Not : türev yoktur. x 3 noktasında sürekli olmadığı için türevi yoktur. x 6 noktasında türevi . Kırık uçlarda olduğu gibi burada sert eğim geçişi olmamıştır. Dolayısıyla sağdan ve soldan türevler birbiri vardır ne eşit gelecektir. x 8 noktasında ise fonksiyon tanımlı olmadığı içim türevi yoktur. Dolayısıyla 5 noktada türev yoktur. Cevap: D 5) www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği ve denklemi verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonu ile ilgili aşağıdakilerden hangileri doğrudur ? f(x) fonksiyonu her noktada süreklidir. x 2 I. II. ve x 4 noktalarında türev yoktur. f(x) fonksiyonu her noktada türevlidir. f'(3) 0 dır. x 4 te türev varken, x 2 de türev yoktur. A) I, IV ve V B) I, II, IV C) II ve IV III. IV. V. D) I ve III E) Yalnız V ÇÖZÜM: Grafiğe bakarak, f(x) in sürekli olduğunu kolaylıkla söyleyebiliriz. Herhangi bir kopma olmamış. (I. öncül doğru) Ancak türevle ilgili gözle karar vermek zor. Köşe olunca türevin olmadığını biliyoruz anca 2 2 k, burada köşe gibi mi yoksa yumuşak bir geçiş mi var? Bunun için türeve bakalım. f(2 ) ( x 5x 3)’ 2x 5 f(2 ) 1 dir. f(2 ) (3)’ 0 f(2 ) 0 dır. Eşit olmadıkları için, x 2 de türev yoktu 2 4 r. f(4 ) (3)’ 0 f(4 ) 0 dır. f(4 ) (x 8x 16)’ (2x 8) f(4 ) 0 dır. Eşit olduğu için, x 4 te türev vardır. (V. öncül doğru. II ve III. öncüller yanlıştır.) f'(3) (3)’ 0 dır. (Sabit fonk siyonun türevi 0 dır). (IV. öncül doğru) Cevap: A 6) 2 x f(x) fonksiyonu her x reel sayısı için x ax 4 türevli olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 ÇÖZÜM: 2 2 Paydayı 0 yapan bir değer olmamalı. Aksi halde süreklilik bozulur. Bu sebeple paydanın gerçek kökü olmamalı. O halde, 0 olmalıdır. a 4.1.4 0 a 16 4 a 4 a 3, 2, 1,0,1,2,3 olabilir. 7 farklı tam sayı Cevap : C www.matematikkolay.net 7) 2 2 x 5x x 2 2x 2 f(x) 2 x 4 x 8 2x 8 x 4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f'(6).f'(3) çarpımı kaçtır? A) 32 B) 23 C) 15 D) 9 E) 2 ÇÖZÜM: 2 f'(6) 2x 8 ‘ 2 2 2 2 2 2 1 2x 8 2x 8 1 1 1 x 6 yazarsak buluruz. 12 8 4 2 2x 2 2.(x 8) (2x 2).2x f'(3) ‘ dir. x 8 (x 8) 2(9 8) (6 2).6 2.1 48 46 x 3 yazarsak 1 1 1 46 dır. 1 f'(6).f'(3) ( 46) 23 buluruz. Cevap: B 2 8) f(x) x 2 fonksiyonu veriliyor. f'( 4), f'( 2), f'(0) değerleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? f'( 4) f'( 2) f'(0) A) Yoktur 0 Yoktur B) 1 0 1 C) Yoktur Yoktur 1 D) Yoktur 0 1 E) 1 Yoktur 1 ÇÖZÜM: Mutlak değerin içini 0 yapmayan noktalarda, bulunduğu bölgeye göre, fonksiyon mutlak değerin dışına alınır ve türev uygulanır. Ancak, mutlak değerin içini 0 yapan noktalar kritik noktalardır. Bu nokt Not : içerisi negatif içerisi 0 alarda sağdan ve soldan türeve bakılıp, öyle karar verilmelidir. x 4 için x 2 x 2 olarak dışarı çıkar. Türev alırsak 1 olur. O halde, f'( 4) 1 dir. x 2 için x 2 kritik no içerisi pozitif kta. x 2 için x 2 olarak dışarı çıkar. Türevi 1 dir. x 2 için x 2 olarak dışarı çıkar. Türevi 1 dir. Farklı olduğu için f'( 2) yoktur. x 0 için x 2 x 2 olarak dışarı çıkar. Türev a lırsak 1 olur. O halde, f'(0) 1 dir. Cevap : E 9) 2 f(x) x 6x 9 fonksiyonu veriliyor. f'( 3) kaçtır? A) Yok B) 6 C) 3 D) 0 E) 6 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 içerisi pozitiftir 2 içerisi po x 6x 9 (x 3) dir. x= 3 için içerisi 0 oluyor. Kritik noktadır. x= 3 için (x 3) (x 3) olarak çıkar. Türevi 2(x 3).1 dir. x 3 yazarsak 0 olur. x 3 için (x 3) 2 zitiftir (x 3) olarak çıkar. Türevi 2(x 3).1 dir. x 3 yazarsak 0 olur. Soldan ve sağdan türevler birbirine eşit olduğu için f'( 3) 0 dır. Cevap : D Mutlak değerin içini 0 Not : yapan kök, birinci dereceden bir kök ise orada türev yoktur. Eğer 2 veya daha fazla dereceden bir kök ise, orada türev vardır ve 0 dır. 10) 3 3 Gerçel sayılarda tanımlı f(x) x.(x 2).(x 8) x.(x 4) fonksiyonunun türevsiz olduğu noktalardaki apsislerin toplamı kaçtır? A) 2 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6 ÇÖZÜM: 3 3 3 3 3 x.(x 2).(x 8) x.(x 4) x . (x 2).(x 8) (x 4) olarak paranteze alabiliriz. x 0 kökü 1.dereceden bir kök olduğu için burada türev olmayacaktır. (x 2).(x 8) ifadesinde x 2 kökü 1.dereceden bir kök de 2 3 ğildir. (x 2).(x 2)(x 2x 4) 2.dereceden bir kök – tür. Bu sebeple x 2, türevin olmasını engellemez. (x 4) x 4 kökü 3.dereceden bir köktür. 1.dereceden olmadığı için burda da türevin olması – nı engell emez. O halde, sadece x 0 da türev yoktur. Cevap : B
