Bu bölümde Türevin Fiziksel Anlamı ve Geometrik Yorumu ile ilgili 18 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
10.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI VE GEOMETRİK YORUMU www.matematikkolay.net 1) 3 2 Bir aracın t saniyede aldığı yol metre cinsinden s(t) t 2t 8t eşitliği ile veriliyor. Buna göre, Aracın ilk 3 saniyedeki ortalama hızı 23 m / sn dir. Aracın 2.saniyedeki hızı 12 m / sn dir. I. II. III 2 Aracın 1.saniyedeki ivmesi 1 m / sn dir. Araç hep ileri yönde gitmiştir, geri dönmemiştir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) II ve IV D) II, III v . IV. e IV E) I, II ve IV ÇÖZÜM: Toplam Yol Ortalama Hız= Toplam Zaman s(3) s(0) İlk 3 saniyedeki ortalama hız= 3 0 27 18 24 0 33 11 m/sn dir. 3 3 I. öncül yanlıştır. Yol fonksiyonunun 1.türevi bize anlık hızı verir. Not : Not : 2 v(t) s'(t) dir. Bir daha türev alırsak, anlık ivmeyi buluruz. a(t) v'(t) s”(t) dir. s'(t) 3t 4t 8 dir. 2.saniyedeki hız s'(2) 3.4 4.2 8 12 m / sn dir. II. öncül doğru. s”(t) 6t 4 tür. 1.saniyedeki i 2 2 vme s”(1) 6 4 2 m / sn dir. III. öncül yanlış. s(t) nin ilk türevi bize hızı vermişti. 3t 4t 8 bu ifade, negatif olabilir mi bakalım. 16 4.3.8 16 96 80 dir. 0 olduğundan bu ifadenin hiç reel kökü yok. Başkatsayısı da pozitif olduğundan bu ifade her zaman pozitiftir. Yani bu araç hep pozitif yönde hareket etmiş, hiç geri dönmemiştir. IV. öncül doğrudur. Cevap : C 2) 3 2 b bir reel sayı olmak üzere, Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol s(t) t bt eşitliği ile ifade ediliyor. Bu hareketlinin ilk 4 saniyedeki ortalama hızı ile 4.saniyedeki anlık hızı birbirine eşitse, b kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 s(4) 64 16b dir. s(0) 0 dır. 64 16b Ortalama hız 16 4b dir. 4 s'(t) 3t 2bt dir. Anlık hız s'(4) 48 8b dir. 16 4b 48 8b ise 4b 32 b 8 dir. Cevap : D 3) 3 3 36 cm hacme sahip küre şeklindeki bir balon, bir 1 iğneyle delindiğinde yarıçapı saniyede cm azalı – 3 yorsa hacmi saniyede kaç cm azalır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 ÇÖZÜM: 3 3 4 Not : Kürenin yarıçapı r ise, hacmi r tür. 3 Burada yarıçap, zamana göre değişen bir fonksiyondr 1 dur. Bunun da türevi olarak verilmiştir. dt 3 Hacim başlangıçta 36 cm ise, 4 3 3 r 36 9 3 3 r 27 r 3 cm dir. Hacmin azalma hızını bulmak için, t ye göre türev alacağız. dr 4 4 r dt 3 3 3 2 Yarıçapın azalma hızı 2 dr r dir. dt dr 4 r dt 4 2 .3 1 3 3 4.3 12 cm / sn dir. Cevap : B 4) 2 100 metre yükseklikten aşağı bırakılan bir cisim, t: saniye olmak üzere x(t) 4t yol denklemi ile aşağı düşmektedir. Bu cismin yere çarptığındaki hızın büyüklüğü kaç m/sn dir? A) 5 B) 12 C) 25 D) 30 E) 40 ÇÖZÜM: 2 2 2 2 100 metreyi kaç saniyede tamamlar, bulalım. 4t 100 4t 100 t 25 t 5.saniyede yere çarpar. 4t nin türevi 8t dir. Hızın büyüklüğü 8t 8t dir. 5.saniyedeki hızı 8.5 40 m / sn olur. Cevap : E 5) 2 Yukarıdaki şekilde f(x) x 4x 1 parabolü ve bu parabole x 4 apsisli noktasında teğet olan d doğrusu çizilmiştir. Buna göre d doğrusunun denklemi aşağı- dakilerden hangisidir? A) y 3x 11 B) y 4x 15 C) y 5x 19 D) y 6x 23 E) y 7x 27 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, aynı noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir. Buna göre, f(x) in türevini bulalım. f'(x) 2x 4 tür. x 4 noktasında türev f'(4) 8 Not : 4 4 tür. O halde, d doğrusunun eğimi 4 tür. Ayrıca bu nok tanın koordinatlarını bulalım. f(x) te x yerine 4 yazalım. f(4) 16 4.4 1 1 dir. O halde, (4, 1) noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğrunun denklemi 1 1 ni yazacağız. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi y y m(x x ) ile bulunur. y 1 4(x 4) y 1 4x 16 y 4x 15 buluruz. Cevap: B d doğrusunun denklemi y m Hatırlatma: II.Yol : (Türevsiz) 2 2 2 x n şeklindedir. Bu doğru (4, 1) noktasından geçmektedir. 1 4m n eşitliğini buluruz. (n 1 4m yazabiliriz.) Ayrıca eğri ile teğetin ortak çözümünde 0 dır. x 4x 1 mx n x (4 m) 1 n 0 0 olmalı (4 m) 2 2 2 2 2 4 4.1.(1 n) 0 16 8m m 4 4n 0 m 8m 4n 12 0 (n 1 4m yazalım.) m 8m 4 16m 12 0 m 8m 16 0 (m 4) 0 m 4 buluruz. n 1 4m 1 16 15 tir. O halde, y 4x 15 tir. Türev, teğetin eğimini bulmak için büyük kolayl ık sağlamaktadır. 6) 4 2 y x 4x 2x 5 eğrisinin x 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y 5x 9 B) y 7x 13 C) y 10x 19 D) y 12x 23 E) y 14x 27 ÇÖZÜM: 3 y’ 4x 8x 2 dir. x 2 noktası için 4.8 8.2 2 32 16 2 32 18 14 tür. Teğetin eğim i 14 tür. Teğet noktasının ordinatını da bulalım. x 2 için y 16 4.4 2.2 5 1 dir. (2, 1) noktasından geçen ve eğimi 14 olan doğrunun denklemi y 1 14(x 2) y 1 14x 28 y 14x 27 dir. Ce vap : E www.matematikkolay.net 7) 3 2 a bir reel sayı olmak üzere, f(x) ax 3x eğrisine x 5 noktasında teğet olan doğru, 10x 2y 33 0 doğrusuna paraleldir. Buna göre, a kaçtır? 1 1 3 5 A) B) C) 1 D) E) 3 2 2 3 ÇÖZÜM: Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. a ax by c 0 doğrusunun eğimi dir. b 10 10x 2y 33 0 doğrusunun eğimi 5 tir. 2 O halde, teğet doğrunun eğimi 5 olmalıdır. Buna göre, f(x) in x 5 n Hatırlatma: 3 2 2 oktasındaki türevi 5 tir. f'(x) ax 3x ‘ 3ax 6x tir. f'(5) 5 ise 3a.25 6.5 5 75a 30 5 1 75a 25 a buluruz. Cevap : A 3 8) 3 2 a ve b birer reel sayı olmak üzere, f(x) x ax bx 18 eğrisine (3, 0) noktasında teğet olan doğru y eksenini 108 noktasında kesmektedir. Buna göre, a b kaçtır? A) 21 B) 14 C) 11 D) 5 E) 1 ÇÖZÜM: x ekseni ile pozitif yönde yapılan açı, eğim açısıdır. Bu açının tan jantı da eğimi verir. Karşı Dik Kenar Dik üçgende tan jant Komşu Dik Kenar 108 Buna göre, teğet doğrusunun eğimi 3 Hatırlatma: 2 36 dır. O halde, f'(3) 36 dır. f'(x) 3x 2ax b x 3 yazarsak, 36 yı bulmalıyız. 27 6a b 36 6a b 9 dur (I. eşitlik). b 9 6a yazabiliriz. Ayrıca (3, 0) 4 noktası eğriye aittir. f(3) 0 olmalıdır. 27 9a 3b 18 0 9a 3b 9 0 3a b 3 0 (b 9 6a yazalım.) 3a 9 6a 3 0 12 3a 0 a 4 tür. b 9 6a 9 24 15 tir. a b 4 ( 15) 11 buluruz. Cevap : C www.matematikkolay.net 9) 2 a bir reel sayı olmak üzere, f(x) ax x eğrisine x 9 noktasında teğet olan doğru, x ekseni ile pozitif yönde 45 lik açı yapmak – tadır. Buna göre, a kaçtır? 4 1 3 4 5 A) B) C) D) E) 81 72 84 75 108 ÇÖZÜM: Teğet doğrusunun eğimi tan45 1 dir. 1 f'(x) 2ax tir. 2 x f'(9) 1 olmalıdır. 1 18a 1 2.Mar 1 18a 1 6 5 5 18a a buluruz. Cevap : E 6 108 10) 2 Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri ve bazı noktalardaki teğetleri çizilmiştir. Buna göre, f (x) ifadesininin x 4 noktasındaki türevi kaçtır? x g 4 25 7 9 39 A) B) C) 2 D) E) 16 4 4 16 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net Sola yatan d Grafiklere göre, f(4) 2 dir. 2 f'(4) 2 dir (Teğetin eğimi). 1 g(1) 4 tür. g'(1) Bu noktadaki teğetin eğimidir. Dikkat edersek, sola yatan bir teğet doğrusudur. O yüzden negatif olacaktır. oğruların eğim açısı geniş açı olur. Geniş açının tanjantı da negatiftir. Dik üçgende tanjant hesaplayıp, ile çarparak hesap yapabiliriz. 2 8 g'(1)= 4 tür. 2 f (x) Şimdi, ifadesinin tü x g 4 2 2 2 2 2 2 f(4) 2 g(1) 4 2 f'(4 revini alalım. x x f (x) ‘.g f (x). g ‘ 4 4 x g 4 x x 1 2f(x).f'(x).g f (x) g’ 4 4 4 x g 4 Şimdi x yerine 4 yazalım. 1 2f(4).f'(4).g 1 f (4) g’ 1 4 g 1 ) 2 g'(1) 4 2 2 1 2.2.2.4 2 .( 4) 32 ( 4) 36 9 4 tür. 4 16 16 4 Cevap: D
