Bu bölümde Riemann ile ilgili 9 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
RIEMANN www.matematikkolay.net 1) 2 y x parabolünün [2, 8] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann alt toplamı kaçtır? A) 104 B) 110 C) 112 D) 132 E) 168 ÇÖZÜM: [a, b] aralığını n tane eş parçaya bölersek, b a aralıkların genişliği olur. n 8 2 6 Buna göre, aralıkların genişliği 2 br dir. 3 3 O halde, [2, 8] aralığını [2, 4], [4, 6], [6, 8] olarak 3 e Not : ş parçaya bölüyoruz. Alt aralıklarda fonksiyonun en küçük değeri ile oluşan dikdörtgenlerin alanları toplamına da Riemann alt toplamı denir. (En küçük değer negatif is Not : e, alanı negatif olarak alacağız.) f(2) f(4) f(6) Rieaman alt toplamı 2. 4 2.16 2.36 8 32 72 112 dir. Cevap: C 2) y 2x doğrusunun [1, 7] aralığında; : eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünmesiyle oluşan Riemann alt toplam : eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünmesiyle oluşan Riemann alt toplam : x ekseni ile A B C arasındaki alan C olmak üzere, oranı kaçtır? A B 4 5 2 7 8 A) B) C) D) E) 7 8 3 10 11 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net [1, 7] aralığını 2 eş parçaya bölersek, 7 1 6 genişlik 3 br olur. 2 2 [1, 7] [1, 4], [4, 7] olarak bölünür. y 2x doğrusu, ar tan bir fonksiyon olduğu için, en küçük değerler, aralıkların başında olur. Buna göre, A 3.f(1) 3.f(4) 3.2 3.8 6 24 30 dur. [1, 7] aralığını 3 eş parçaya bölersek, 7 1 6 genişlik 2 br olur. 3 3 [1, 7] [1, 3], [3, 5], [5, 7] olarak bölünür. Buna göre, B 2.f(1) 2.f(3) 2.f(5) 2. 7 7 2 1 1 2 2.6 2.10 4 12 20 36 dır. C 2xdx x 49 1 48 dir. Buna göre, C 48 48 8 dir. Cevap: E A B 30 36 66 11 Riemann hesabında, ne kadar çok alt aralığa bölersek gerçek integral Not : değerine o kadar yaklaşırız. 3) f(x) x eğrisinin [1, 16] aralığında Riemann alt toplamı hesaplanacaktır. Alt aralıklar, eş parçalar şeklinde değil de uç noktaları tam kare sayılar olacak şekilde 3 parça ayarlanıyor. Buna göre, Riemann alt toplamı kaç bulunur? A) 32 B) 36 C) 41 D) 44 E) 49 ÇÖZÜM: [1, 9] aralığı [1, 4], [4, 9], [9, 16] olarak parçalanmıştır. f(x) x eğrisi de sürekli azalan bir fonksiyondur. Buna göre en küçük değeri, aralıkların sonunda alacaktır. 4 1 9 4 16 9 b a Buna göre, Riemann alt toplamı 3 .( 2) 5 .( 3) 7 .( 4) 6 15 28 49 dur. Cevap: E Riemann Alt Toplamı f(x)dx tir. Not : 4) 11 1 f(x) azalan bir fonksiyon olmak üzere, f(11) 2 dir. f(x)dx 65 olduğuna göre, f(6) nın en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 Çözüm: www.matematikkolay.net f(6) f(11) f(6) a olsun. [1, 11] aralığını iki parçaya bölersek [1, 6], [6, 11] olur. Azalan fonksiyon olduğundan Riemann alt toplamı 5. a 5. 2 5a 10 dur. Alt toplam, integralden daha küçük olacaktır. (Sabit fonksiyon olmadığı için) 5a 10 65 5a 55 a 11 a nın en büyük tam sayı değeri 10 dur. Cevap: C 5) 2 y x 4 parabolünün [1, 7] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı kaçtır? A) 190 B) 196 C) 202 D) 210 E) 212 ÇÖZÜM: 7 1 6 Aralıkların genişliği 2 br dir. 3 3 O halde, [1, 7] aralığını [1, 3], [3, 5], [5, 7] olarak 3 eş parçaya bölüyoruz. Alt aralıklarda fonksiyonun en büyük değeri ile oluşan dikdörtgenler Not : in alanları toplamına da Riemann üst toplamı denir. (En büyük değer negatif ise, alanı negatif olarak alacağız.) f(3) f(5) f(7) Rieamann üst toplamı 2.13 2.29 2.53 26 58 106 190 d ır. Cevap: A 6) f(x) x 1 fonksiyonunun [0, 4] aralığında; : eşit uzunlukta 4 alt aralığa bölünmesiyle oluşan Riemann alt toplam : eşit uzunlukta 4 alt aralığa bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplam : x eks A B C eni ile arasındaki alan C olmak üzere, oranı kaçtır? B A A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM: [0, 4] aralığını 4 eş parçaya bölersek, 4 0 genişlik 1 br olur. 4 [0, 1] [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] olarak bölünür. f(x) x 1 fonksiyonu, ar tan bir fonksiyon olduğu için, en küçük değerler, aralıkla rın başında olur. Buna göre, A 1.f(0) 1.f(1) 1.f(2) 1.f(3) 1.1 1.2 1.3 1.4 1 2 3 4 10 dur. (Riemann alt toplam) En büyük değerler de, aralıkların sonunda olur. B 1.f(1) 1.f(2) 1.f(3) 1.f(4) 1.2 4 4 2 0 0 1.3 1.4 1.5 2 3 4 5 14 tür. (Riemann üst toplam) x C (x 1)dx x (8 4) 0 12 dir. 2 Buna göre, C 12 12 3 tür. Cevap: B B A 14 10 4 Alt toplam İntegral Üst Toplam dır. Alt aral Not : ıkların sayısı ne kadar fazla ise, gerçek integral değerine o kadar yaklaşılır. www.matematikkolay.net 7) f(x) ar tan bir fonksiyon olmak üzere, [1, 13] aralığında eş olarak 4 alt aralığa bölününce Riemann alt toplamı 225 bulunmuştur. f(1) 10 ve f(13) 25 olduğuna göre, aynı aralıklar için Riemann üst toplamı kaçtır? A) 240 B) 260 C) 290 D) 330 E) 360 ÇÖZÜM: [1, 13] aralığını 4 eş parçaya bölersek, 13 1 genişlik 3 br olur. 4 [1, 13] [1, 4], [4, 7], [7, 10], [10, 13] olarak bölünür. f(x), ar tan bir fonksiyon olduğu için, en küçük değerler, aralıkların başında olur. Buna göre, 225 3.f(1) 3.f(4) 3.f(7) 3.f(10) 225 75 3 10 f(1) f(4) f(7) f(10) 75 f(1) f(4) f(7) f(10) dur. 85 f(4) f(7) f(10) dur. En büyük değerler de, aralıkların sonunda olur. Riemann üst toplam 3.f(4) 3.f(7) 3.f(10) 3.f(13) 85 25 3(f(4) f(7) f(10) f(13)) 3.110 330 br dir. Cevap : D 8) 2 3 y 4x x eğrisinin [ 2, 4] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann orta toplamı kaçtır? A) 22 B) 34 C) 39 D) 45 E) 60 ÇÖZÜM: 4 ( 2) 6 Aralıkların genişliği 2 br dir. 3 3 O halde, [ 2, 4] aralığını [ 2, 0], [0, 2], [2, 4] olarak 3 eş parçaya bölüyoruz. Alt aralıkların orta noktaları ile oluşturulan dikdörtgenlerin Not : Ortası 1 Ortası 1 Ortası 3 alanları toplamına da Riemann orta toplamı denir. (Orta değer negatif ise, alanı negatif olarak alacağız.) [ 2, 4], [0, 2], [2, 4] Buna göre, Riemann orta toplamı 2.f( 1) 2.f(1) 2.f(3) 2.5 2.3 2.9 10 6 18 34 tür. Cevap: B 9) www.matematikkolay.net 2 Yukarıda, bir bahçenin her 4 metrede bir, yatay uzunlukları gösterilmiştir. Buna göre, bahçenin alanı kaç m olamaz? A) 120 B) 150 C) 180 D) 210 E) 240 ÇÖZÜM: 2 Riemann alt toplamına göre, bahçenin alanı en az 4.9 4.5 4.5 4.7 36 20 20 28 104 m dir. 2 2 Riemann üst toplamına göre, bahçenin alanı en fazla 4.16 4.16 4.11 4.11 64 64 44 44 216 m dir. Buna göre, bahçenin alanı 240 m olamaz. Cevap: E
