Bu bölümde Bileşke Fonksiyon, Parçalı Fonkisyon ve Mutlak Değer Fonksiyonlarında Limit ile ilgili 13 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
10.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
ÇEŞİTLİ FONKSİYONLARDA LİMİT www.matematikkolay.net 1) 2 2 x 3 1 7x f(x) 3x 5x 1 ve g(x) x 4 olduğuna göre, lim (fog)(x) limitinin değeri kaçtır? A) 36 B) 43 C) 54 D) 69 E) 76 ÇÖZÜM: x 3 x 3 2 2 lim (fog)(x) f lim g(x) 1 7.3 f 3 4 20 f 5 f( 4) 3.( 4) 5.( 4) 1 48 20 x m x n x m 1 69 buluruz. Cevap : D lim g(x) n ve lim f(x) k olsun. lim(fog)(x) k dır. x n noktasında, f fonksiyonu tanımlı ve limiti f(n) e eşitse, bile Not : x m x m şke fonksiyonun limiti lim(fog)(x) f lim g(x) f(n) dir. 2) 2 x 5 f(x) x 9 olduğuna göre, lim (fof)(x) limitinin değeri kaçtır? A) 5 B) 7 C) 3 D) 13 E) 4 ÇÖZÜM: x 5 x 5 2 2 lim (fof)(x) f lim f(x) f 5 9 f 16 f(4) 4 9 16 9 7 buluruz . Cevap : B 3) x 3 Yukarıdaki şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, lim (fof)(x) limitinin değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM: Sırayla limitlere bakalım. x, 3’e sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonu 3 e doğru yaklaşıyor (Kırmızı ile gösterildi). Ancak f(x)’in x 3 noktasında limiti yok. Bu sebeple x 3 e nerden yaklaşıldığı önemli. Di kkat edersek, 3 değerine alttan yaklaşılıyor. Yani 3 ten daha küçük değerlerle yaklaşılıyor. Bu sebeple, bir sonraki adımda 3’e soldan yaklaşmalıyız. x 3 e soldan yaklaşırken f(x) fonksiyonu 2’ye doğru ya x 3 3 klaşıyor (Mavi). Cevap : 2 olur. Kısaca, lim (fof)(x) (fof)( 3 ) f(f( 3 )) f(3 ) 2 dir. Cevap : A www.matematikkolay.net 4) x 4 x 2 Yukarıdaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, lim (fog)(x) lim (gof)(x) toplamı kaça eşittir? A) 2 B) 0 C) 3 E) 5 E) 6 ÇÖZÜM: x 4 İlk önce lim (fog)(x) değerini bulalım. x x 4 e soldan giderken g(x) 2 ye gidiyor. Bu 2 ye gidişi, daha küçük değerlerle ya da daha büyük değerlerle değil. Net olarak 2. Bu sebeple f(x) te x 2 için değer bakacağız. f( 2) 2 dir. Yani, lim 4 2 x 2 (fog)(x) (fog)(4 ) f(g(4 )) f( 2) 2 dir. Şimdi lim (gof)(x) değerini bulalım. x 2 ye sağdan giderken f(x) 2 ye gidiyor. Bu 2 ye, daha küçük değerlerden gelerek yaklaşı – yor. Bu sebeple g(x) e x 2 nin solundan yaklaşacağız. Bu durumda g(x) fonksiyonu 4 e yaklaşıyor. O halde, lim x 2 (gof)(x) g( 2 ) 4 tür. Buna göre, sorunun cevabı 2 4 6 dır. Cevap : E 5) x 1 x 3 x 3 x 0 x 4 Yukarıdaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, lim (fog)(x) 3 tür. lim (fog)(x) 3 tür. lim (fog)(x) yoktur. lim (gof)(x) yoktur. lim I. II. III. IV. V. (gof)(x) 2 dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) I ve IV C) I, III ve IV D) I, II ve V E) II ve V ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net x 1 Sırayla öncülleri inceleyelim. lim (fog)(x) 3 müdür? I. x 1 g(x) 0’a soldan yaklaşıyor. f(0 ) 3 tür. x 1 g(x) 0’a sağdan yaklaşıyor. f(0 ) 3 tür. Sağdan ve soldan aynı değere ula x 1 x 3 ştık. O halde, lim (fog)(x) 3 tür, doğru. lim (fog)(x) 3 müdür? II. x 3 g(x) 2’ye soldan yaklaşıyor. f(2 ) 3 tür. x 3 g(x) 2’ye sağdan yaklaşıyor. f( 2 ) 3 tür. Sağdan ve soldan aynı değe x 3 x 3 re ulaştık. O halde, lim (fog)(x) 3 tür, doğru. lim (fog)(x) yok mudur? III. ( 2 den daha büyük değerlerle yaklaşıyor) x 3 g(x) 2’ye sağdan yaklaşıyor. f( ( 2 den daha büyük değerlerle yaklaşıyor) 2 ) 3 tür. x 3 g(x) 2’ye sağdan yaklaşıyor. f( 2 x 3 x 0 ) 3 tür. Sağdan ve soldan aynı değere ulaştık. O halde, lim (fog)(x) vardır ve 3 tür. III. öncül yanlış. lim (gof)(x) yok mudur? IV. (3 ten daha küçük değerlerle yaklaşıyor) x 0 f(x) 3’e soldan yaklaşıyor. f(3 ) (3 ten daha küçük değerlerle yaklaşıyor) 2 dir. x 0 f(x) 3’e soldan yaklaşıyor. x 0 x 4 f(3 ) 2 dir. Sağdan ve soldan aynı değere ulaştık. O halde, lim (gof)(x) vardır ve 2 dir. IV. öncül yanlış. lim (gof)(x) 2 midir? V. www.matematikkolay.net ( 3 ten daha büyük değerlerle yaklaşıyor) x 4 f(x) 3’e sağdan yaklaşıyor. ( 3 ten daha küçük değerlerle yaklaşıyor) f( 3 ) 2 dir. x 4 f(x) 3’e soldan yaklaşıyor. x 4 f( 3 ) 2 dir. Sağdan ve soldan aynı değere ulaştık. O halde, lim (gof)(x) 2 dir, doğru. I, II ve V. öncüller doğrudur. Cevap: D 6) x a Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiğinden bir bölüm verilmiştir. 1 a 5 olmak üzere, lim (fof)(x) limitinin var olmadığı a tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 10 ÇÖZÜM: Sırayla bakalım. a 1 olursa, ne olur? x 1 x 1 lim (fof)(x) f(2 ) 3 tür. Aynı değeri elde ettik. lim (fof)(x) f(2 ) 3 tür. x 1 de limit vardır. a 2 olursa, ne olur? x 2 x 2 lim (fof)(x) f(3 ) 4 tür. Aynı değer değil. lim (fof)(x) f(3 ) 1 dir. x 2 de limit yoktur. a 3 olursa, ne olur? x 3 x 3 lim (fof)(x) f(4 ) 2 dir. Aynı değeri elde ettik. lim (fof)(x) f(1 ) 2 dir. x 3 te limit vardır. a 4 olursa, ne olur? www.matematikkolay.net x 4 x 4 lim (fof)(x) f(2 ) 3 tür. Aynı değeri elde ettik. lim (fof)(x) f(2 ) 3 tür. x 4 te limit vardır. a 5 olursa, ne olur? x 5 x 5 lim (fof)(x) f(1 ) 2 dir. Aynı değeri elde ettik. lim (fof)(x) f(1 ) 2 dir. x 5 te limit vardır. Buna göre, sadece a 2 iken limit yoktur. Değerlerin toplamı da 2 olacaktır. Cevap : A 7) x 2 x 4 x 6 2x 1 x 4 f(x) 6 x 4 16 2x x 4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aşağıdaki limit değerlerinden hangileri doğrudur? lim f(x) 3 tür. lim f(x) 6 dır. lim (fof)(x) yoktur. A) Yal I. II. III. nız I B) I ve II C) Yalnız II D) I ve III E) II ve III ÇÖZÜM: Parçalı fonksiyonlarda limit bakarken kritik noktalarda dikkatli olmalıyız. Sağdan ve soldan limitler birbirine eşitse, ancak o zaman limit vardır. öncülü inceleyelim. x 2 de ğeri, kritik nokta d Not : I. x 2 2 eğil ve bu aralıkta f(x) fonksiyonu polinom fonksiyon olduğu için, direkt x=2 değerini yerine yazabiliriz. lim f(x) f(2) 2x 1 4 1 3 tür, doğru. öncülü inceleyelim. x 4 değeri, kritik noktadır. II. 4 4 Soldan ve sağdan ince – leyelim. x 4 f(x) 2x 1 8 1 7’ye yaklaşıyor. x 4 f(x) 16 2x 16 8 8’e yaklaşıyor. Sağdan ve soldan farklı değerlere ulaştık. Bu sebeple limit yoktur. II. öncül x 6 yanlış. öncülü inceleyelim. lim (fof)(x) ? x 6 değeri kritik nokta değil ancak; bileşke fonksiyon olduğu için soldan ve sağdan farklılık oluşturabilir. O yüzden detaylı III. 6 4 6 incelemeliyiz. x 6 f(x) 16 2 x 16 12 4 ye yaklaşıyor. f(4 ) 16 2x 16 8 8 dir. x 6 f(x) 16 2 x 16 12 4 ye yaklaşıyor. 4 f(4 ) 2x 1 8 1 7 dir. Sağdan ve soldan farklı değerlere ulaştık. Bu sebeple limit yoktur. III. öncül doğru. Cevap : D www.matematikkolay.net 8) 2 x 5 x a x 1 f(x) 3x a x 1 fonksiyonu tüm gerçel sayılarda limitli olduğuna göre, lim f(x) limitinin değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 8 D) 12 E) 17 ÇÖZÜM: 2 ( 1) ( 1) x 5 Tüm gerçel sayılarda limitli ise, x 1 noktasında da limiti vardır. Buna göre, soldan ve sağdan aynı değeri vermelidir. f( 1 ) f( 1 ) x a 3 x a 1 a 3 a 2a 4 a 2 dir. Buna göre, lim f(x) 5 2 3x a 15 a 15 2 17 dir. Cevap: E 9) 2 2 2x 6 x 3 f(x) 12x a 3 x b x 4 x b fonksiyonu tüm gerçel sayılarda limitli olduğuna göre, b nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 2 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12 ÇÖZÜM: 2 3 3 2 2 ( 2).( 10) Kritik noktalara bakacağız. f(3 ) f(3 ) olmalıdır. 2x 6 12x a 18 6 36 a 12 36 a a 24 tür. f(b ) f(b ) olmalıdır. 12b 24 b 4 0 b 12b 20 0 (b 2)(b 10) b 2 veya b 10 dur. Ancak, soruda verilen tanım aralıklarına göre b nin 3’ten büyük olması gerekiyor. Bu sebeple b sadece 10 olabilir. Cevap : D 10) 2 x 1 x 2x 1 x 0 f(x) 6 3x x 0 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, lim (fof)(x) kaçtır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) Yoktur ÇÖZÜM: 2 2 1 x 1 değeri kritik nokta değil ancak; bileşke fonksiyon olduğu için soldan ve sağdan farklılık oluşturabilir. O yüzden detaylı incelemeliyiz. x 0 için f(x) x 2x 1 (x 1) verilmiş. x 1 f(x) ( x 2 2 negatif bir sayının karesi pozitiftir. 0 2 2 1 1) (0 ) 0 ya yaklaşıyor. f(0 ) 6 3x 6 dır. x 1 f(x) ( x 1) (0 ) 0 ya yaklaşıyor. 0 f(0 ) 6 3x 6 dır. Sağdan ve soldan aynı değerlere ulaştık. Bu sebeple limit vardır ve 6 dır. Cevap : B
6. Soru da limit 2 ve 3 ün limitleri yanlış yazılmış 2nin limiti yazılıp 3 ün limitine bakılmış . Aynı şekilde 3 ün limiti yazılıp 2 nin limitine bakılmış.
Çözümü inceledik ama hata göremedik. İki aşamalı olarak limite bakılıyor. f(2)=3 e gittiği için (fof)(2) bileşke fonksiyonu f(3) e dönüşüyor.