Riemann, Alt Toplam, Üst Toplam, İntegralin hangi aralıkta olduğunu bulma, İntegralin yaklaşık değerini bulma

Riemann Alt Toplam 2 [2, 8] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırarak f(x) x 1 fonksiyonunun bu aralıktaki alt toplamını bulunuz. www.matematikkolay.net : [2, 8] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 8 2 2 3 Çözüm olur. P {2, 4, 6, 8} O halde, alt toplam şekildeki gibi dikdörtgenlerin alanları toplamıdır. Alt toplam f(2).2 f(4).2 f(6).2 5.2 17.2 37.2 10 34 74 118 buluruz. 87
Rieman Alt negatif sonuç www.matematikkolay.net 2 [2, 5] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırarak f(x) x 1 fonksiyonunun bu aralıktaki alt toplamını bulunuz. www.matematikkolay.net : [2, 5] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 8 5 1 3 Çözüm olur. P {2, 3, 4, 5} Buradaki dikdörtgenler, x ekseninin altında kaldığı için, alt toplam dikdörtgenlerin alanları topla mının eksilisine eşit olacaktır. Alt toplam f(2).1 f(3).1 f(4).1 3 15 35 53 buluruz. 88
Üst Toplam www.matematikkolay.net 2 [0, 2] aralığını eş uzunlukta 4 alt aralığa ayırarak f(x) x fonksiyonunun bu aralıktaki üst toplamını bulunuz. www.matematikkolay.net : [0, 2] aralığını eş uzunlukta 4 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 2 0 1 4 2 Çözüm 1 3 olur. P {0, , 1, , 2} 2 2 Üst toplam, buradaki dikdörtgenlerin alanları toplamına eşit olacaktır. 1 1 Üst toplam f . f 1 . 2 2 4 1 3 1 1 f . f 2 . 2 2 2 2 1 1 1 9 1 1 1 4 4 2 2 4 2 2 1 1 9 2 8 2 8 1 4 9 16 8 8 8 8 30 8 15 buluruz. 4 www.matematikkolay.net 89
f : [0, 4] R, y 3x 1 fonksiyonu veriliyor. [0, 4] aralığını 4 eşit parçaya bölen bölüntüye göre f f  onksiyonunun Riemann alt toplamını bulunuz. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 www.matematikkolay.net : [0, 4] aralığını eş uzunlukta 4 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 4 0 1 4 Çözüm olur. P {0, 1, 2, 3, 4} Alt toplam, buradaki dikdörtgenlerin alanları toplamına eşit olacaktır. Alt toplam f 0 .1f 1 .1f 2 .1f 3.1 1.1 4.1 7.1 10.1 1 4 7 10 22 buluruz. 90
www.matematikkolay.net 3 y x 2 eğrisini [0, 3] aralığında 3 eşit parçaya bölen bölüntüye göre Riemann alt toplamın, üst to plama oranını kaçtır? 7 9 11 13 A) 1 B) C) D) E) 13 29 27 22 : [0, 3] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 3 0 1 3 Çözüm olur. P {0, 1, 2, 3} Alt Toplam f(0).1 f(1).1 f(2).1 f(3).1 2.1 3.1 10.1 29.1 2 3 10 29 44 tür. Üst Toplam f(1).1 f(2).1 f(3).1 f(4) .1 3.1 10.1 29.1 66.1 3 10 29 66 108 dir. 44 11 Oran buluruz. 108 27 www.matematikkolay.net 91
2 Yukarıda [0, 3] aralığında tanımlı f(x) 2x 3x fonk – siyonunun grafiği verilmiştir. [0, 3] aralığı 3 eşit par – çaya ayrılıyor. Buna göre, aralıkların orta noktaları yardımıyla elde edilen Riemann toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 www.matematikkolay.net : [0, 3] aralığını eş uzunlukta 3 alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 3 0 1 3 Çözüm olur. P {0, 1, 2, 3} Or ta noktalar yardımıyla dikdörtgenleri oluşturalım. 1 3 5 Riemann Toplamı f 1 f 1 f 1 2 2 2 1 1 0 1 5 1 1 0 5 4 buluruz. 92
www.matematikkolay.net n 1 3 6 3n lim f f … f limiti aşağıdaki – n n n n lerden hangisine eşittir? A 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 3 ) 3f(x)dx B) f(3x)dx C) f dx x x 1 D) f dx E) f(x)dx 3 3 www.matematikkolay.net 1 0 1 1 2 n f f … f f x dx ise n n n n 1 3 6 3n f f … f n n n n : Çözüm 1 0 1 2 n f 3x dx tir. Açıklama: 1 [0,1] aralığını x olan n eşit aralığa n bölersek bu alt aralıklar; 1 1 2 n 1 0, , , , … , ,1 olur. n n n n 1 2 z , z , … z 1 için Riemann toplamı n n              n i i i 1 1 n i i n 0 i 1 k 1 2k 1 nk 1 f kz x f f … f n n n n n n 1 k 2k nk f f … f dir. n n n n f kx dx lim f kz x olduğundan; 1 3 6 f f … n n n     1 0 3n f f 3x dx tir. n 79
www.matematikkolay.net 1 n 0 1 1 2 3 n lim f f f … f f(x)dx n n n n n olduğu Riemann toplamından bili     3 3 3 3 n 4 3 ndiğine göre, 1 2 3 … n lim n limitinin değeri kaçtır? 4 3 2 1 1 A) B) C) D) E) 3 4 3 2 3 3 3 3 3 n 4 3 3 3 3 3 n 1 3 3 3 3 3 n 1 3 3 n 1 f 1 2 3 … n lim n 1 2 3 … n lim n.n 1 1 2 3 … n lim n n 1 1 lim n : n Çözüm 3 3 3 2 f n n 1 n 0 3 4 1 1 1 1 3 3 3 0 0 0 2 3 n … n n n 1 1 2 3 n lim f f f … f f(x)dx n n n n n f(x) x tir. O halde, 3x 3 xdx x dx buluruz. 4 4     www.matematikkolay.net 83
www.matematikkolay.net 4 2 0 x 9 dx integrali aşağıdaki aralıklardan hangisindedir? A) [0, 12] B) [18, 20] C) [12, 20] D) [0, 12] E) [15, 24] 4 2 0 2 x 9.dx 0 ile 4 arasında x değeri sürekli pozitiftir. x’in pozitif olduğu aralıkta, 9 : x  Çözüm 2 4 4 4 2 2 0 0 0 4 4 4 2 0 0 0 4 2 4 4 2 0 0 0 4 2 0 9 x 6x 9 dur. Dolayısıyla; 9.dx x 9.dx (x 3) .dx dir. 3.dx x 9.dx (x 3).dx x 3x x 9.dx 3x 2 12 x 9.dx 20 dir. Cevap: [12, 20]          www.matematikkolay.net 15
2 1 (x 1)dx belirli integralini Riemann ile hesaplayınız. www.matematikkolay.net : [1, 2] aralığını eş uzunlukta n tane alt aralığa ayırırsak, her bir alt aralığın uzunluğu 2 Çözüm n k 1 n n n k 1 k 1 1 1 2 k olur. P {1, 1 , 1 ,…, 1 , …,2} n n n n n k 1 Riemann toplamı f 1 dir. Burada n’i ‘a n n götürürsek, integralin sonucunu bulmuş oluruz. k 1 k lim f 1 lim 1 1 n n n    n 1 n n 2 k 1 n n n 2 n k 1 k 1 n t n 2 n 1 n k 2 lim n n k 2 lim lim n n 1 2 … n 2 2 2 lim lim … n n n n     ane n 2 n 2 n 2 n n.(n 1) 2 2 lim lim n n n n n lim 2 lim 2 n 1 2 2 5 buluruz. 2