Üçgende Kenarortay

ÜÇGENDE KENARORTAY

Ağırlık Merkezi

Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler. Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.


Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.

Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay ve |AG|=|DC|=|BD|

Kenarortayların Böldüğü Alanlar

Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.

G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse

|AK| = 3x   ;  |KG| = x    ;   |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.

K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.

[FE] //[BC]      ve     2[FE]=[BC]

ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.

Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.

Kenarortay Uzunluğu

ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğuna {{V}_{a}} dersek

\displaystyle 2V_{a}^{2}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{{{{a}^{2}}}}{2}

Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.

\displaystyle 2V_{b}^{2}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{{{{b}^{2}}}}{2}

\displaystyle 2V_{c}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{{{{c}^{2}}}}{2}

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

\displaystyle V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2}=\frac{3}{4}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})

Dik Üçgende Kenarortaylar

A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

\displaystyle 5V_{a}^{2}=V_{b}^{2}+V_{c}^{2}

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr
Düzenleme: www.matematikkolay.net