Trigonometri Konu Anlatımı (11.Sınıf)

GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI (DAR AÇIYA İNDİRGEME)

İlk verilen açı, esas ölçü dışında ise esas ölçüsü alınır.

x açısının dar açı olduğu kabul edilerek trigonometrik oranın işaret tespiti yapılır. Eğer negatifse, başa – işareti konacaktır.

$\displaystyle 90{}^\circ$ ya da $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ nin tek katlarında sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir.

$\displaystyle 90{}^\circ$ ya da $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ nin çift katlarında fonksiyonların adı aynı olur.

Örnek: cos(90+x)=?

90+x açısı 2.bölgededir. 2.bölgede kosinüs (-) dir. Dolayısıyla başa (-) işareti gelecektir.

90 açısı da 90’ın 1 katıdır(tek katı). Dolayısıyla kosinüs, sinüse dönüşecektir. O halde,

cos(90+x)=-sinx tir.

Örnek: tan(180+x)=?

180+x açısı 3.bölgededir. 3.bölgede tanjant (+) dır.

180 açısı da 90’ın 2 katıdır(çift katı). Dolayısıyla fonksiyonun adı değişmeyecektir. O halde,

tan(180+x)=tanx tir.

Örnek: cos(210)=?

Çözüm

210=180+30 olarak düşünebiliriz. 180+x açısı 3.bölgededir. 3.bölgede kosinüs (-) dir.

180 açısı da 90’ın 2 katıdır(çift katı). Dolayısıyla fonksiyonun adı değişmeyecektir. O halde,

cos(180+30)=-cos30 dur. $\displaystyle \cos 30=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ olduğundan, cevap $\displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ dir.

Örnek: $\displaystyle \tan \left( {2\pi -\alpha } \right)=?$

Çözüm

$\displaystyle {2\pi -\alpha }$ açısı 4.bölgededir. 4.bölgede tanjant (-) dir.

$\displaystyle {2\pi }$ açısı da $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ ‘nin 4 katıdır(çift katı). Dolayısıyla fonksiyonun adı değişmeyecektir. O halde,

$\displaystyle \tan \left( {2\pi -\alpha } \right)=-\tan \alpha$ dır.

Örnek: $\displaystyle \sin \left( {\frac{{21\pi }}{4}} \right)=?$

Çözüm

$\displaystyle \frac{{21\pi }}{4}$ ün esas ölçüsünü bulalım. Paydanın 2 katı 8 dir. 21’in 8’e bölümünden kalan 5 tir. O halde $\displaystyle \sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)$ ü bulacağız.

$\displaystyle \frac{{5\pi }}{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$ olarak yazabiliriz. $\displaystyle \pi +x$ açısı 3.bölgededir. Bu bölgede sinüs (-) dir.

$\displaystyle \pi$ açısı $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ nin çift katı olduğundan fonksiyonun adı değişmez. O halde, – $\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ ü elde ederiz. O da – $\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{2}$ dir.

Not: Sadece $\displaystyle \cos (-\alpha )=\cos \alpha$ eşittir. Diğerleri ( $\displaystyle \sin (-\alpha ),\text{ tan}(-\alpha ),\text{ cot}(-\alpha )$ ) eksilisine (-) eşittir.

Örnek: $\displaystyle \frac{{\sin (-30)}}{{\cos \left( {-60} \right)}}=?$

Çözüm

$\displaystyle \frac{{\sin (-30)}}{{\cos \left( {-60} \right)}}=\frac{{-\sin (30)}}{{\cos \left( {60} \right)}}=\frac{{-\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=-1$ dir.

Alıştırma 9

Çözüm

Not: $\displaystyle \alpha +\beta =90{}^\circ$ ise $\displaystyle \text{tan}\alpha =\cot \beta$ ve $\displaystyle \text{sin}\alpha =\cos \beta$ dir.