Paralelkenar

 

Örnek:

Not:

Örnek:

 

Not:

Örnek:

Çözüm:

Not:

Not:

Örnek:

Çözüm:

 

Not:

 

Örnek:

Not:

Örnek:

 

Çözüm:

Not:

 

 

Örnek:

 

Not:

 

 

 

Not: (Fen Lisesi)

 

Örnek:

Paralelkenarın Alanı

Örnek:

 

Not:

 

Örnek:

Not:

 

Örnek:

 

 

 

Not:

 

 

Örnek:

 

Not:

 

Örnek:

 

 

Not:

Örnek:

 

Not:

 

 

Paralelkenarda Alan Paylaşımları

 

1)

2)

 

3)

4)

 5)

 

Not:

Örnek:

  

ÇÖZÜM:

 

---

PARALELKENAR KONU NOTLARI www.matematikkolay.net Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere – denir. ( [AB] // [CD] ve [AD] // [BC] ) Karşılıklı kenarlar birbirlerine eşittir. AB DC ve AD BC dir. Ardışık iki iç açının toplamı 180 dir. paralel kenar 180 dir. Dolayısıyla karşılıklı açılar birbirine eşittir. Örnek: Not: Paralelkenarda ardışık iki iç açıortay, dik kesişir. Örnek: [DE] açıortay ve [CE] ile dik kesişmişler. O halde, [CE] açıortaydır. 25 olur. Not: Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalayarak keser. Örnek: Çözüm: Not: Paralelkenar, yamuğun tüm özelliklerini taşır. Not: Paralelkenarın karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olduğu için, soru çözümlerinde benzerlik çok kullanılır. Örnek: www.matematikkolay.net Çözüm: m(BEC) m(DCE) dir (iç ters açı). BEC ikizkenar üçgen olur. BE 6 cm dir. BEF üçgeni ile DFC üçgeni arasında kelebek benzer – liği vardır. 8 4 x 3 buluruz 6 x Not: Paralelkenarda yukarıdaki gibi bir uzunluk sorulursa iki defa benzerlik yaparak, a uzunluğunu bulabiliriz. DG a DAG üçgeni ile BGE üçgeni GB x y DG x DGF üçgeni ile BGA üçgeni GB a 2 Ya da a x(x y) formülünü kullanabiliriz. Örnek: Not: Örnek: Çözüm: E ve F orta nokta olduğu için, köşegen eşit parçalara ayrılmıştır. Bu sebeple hepsi 5’er birimdir. Ayrıca CG uzunluğu da bunlara eşit verilmiş. Burada muhteşem üçlü oluştuğu için, dik açı vardır. O halde, FCB üçgeni bir 6 – 8 -10 üçgenidir. CB 8 br olur. x 4 br dir. www.matematikkolay.net Not: Paralelkenarın köşelerinden bir doğruya çizilen dikmeler için, dışta kalan dikmelerin uzunlukları toplamı, içte kalan uzunlukların toplamına eşittir. Doğrunun aynı tarafında kalan uzunluklar pozitif kabul edilirken, farklı tarafında kalanlar negatif kabul edilir. Örnek: Not: Aynı durum paralel çizilen uzunluklar için de geçer￾lidir. Not: (Fen Lisesi) 2 2 2 2 Kenar uzunlukları a ve b olan bir paralelkenarın köşegen uzunlukları e ve f olsun. e f 2(a b ) dir. Örnek: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Köşegenlerden biri 8 br dir. Diğeri 2x tir. O halde, 8 (2x) 2(3 5 ) eşitliğini kurabiliriz. 64 4x 2(9 25) 64 4x 2.34 64 4x 68 4x 4 x 1 x 1 br dir. Paralelkenarın Alanı a b Paralelkenarın alanı, taban ile bu tabana ait yüksek￾liğin çarpımıdır. Alan a.h b.h Örnek: 2 A(ABCD) 8.5 40 br dir. Not: Kenarları a ve b olan bir paralelkenarın bir iç açısı ise Alan a.b.sin dır. Örnek: 2 1.Şub 1 A(ABCD) 8 5 sin30 40 20 br dir. 2 Not: (Bu formül tüm dörtgenler için geçerlidir.) Köşegenleri e ve f olan bir paralelkenarın, köşegen￾ler arasındaki açı ise, 1 Alan a.b.sin dır. 2 Örnek: 3 2 AC 10 br, BD 8 br dir. 1 1 A(ABCD) 10 8 sin60 2 2 10 8 2 3 2 2 20 3 br dir. www.matematikkolay.net Not: Paralelkenarda bir köşegen, tüm alanı iki eş parçaya ayırır. Paralelkenarda iki köşegen, tüm alanı dört eş parçaya ayırır. Örnek: 2 A(ABCD) 4.15 60 cm dir. Not: Paralelkenarın bir kenarını taban olarak kullanan bir üçgenin diğer köşesi, karşı kenarın üzerinde ise bu üçgenin alanı, paralelkenarının alanının yarısıdır. Örnek: 2 2 60 A(ABE) 30 br dir. 2 14 B 30 B 16 br dir. Not: Paralelkenarın içindeki bir nokta ile, köşeler arasında oluşan üçgenler arasında aşağıdaki ilişki vardır. Örnek: 2 8 21 S 13 29 S 13 S 16 cm dir. www.matematikkolay.net Not: Paralelkenarda Alan Paylaşımları Paralelkenarda özellik olarak, birçok alan paylaşımı yazılabilir. İstersek bunları kendimiz de bulabiliriz. Paralelkenarda karşılıklı kenarların paralel olması nedeniyle bir çok benzerlik uygulanabilir. Ayrıca köşegenlerin birbirini ortalamasından dolayı kenarortaylar, üçgenlerin ağırlık merkezleri kullanı- labilir. Aşağıda bunlara ait önemli örnekler bulunmaktadır. 1) Bir köşeden, karşı kenarların orta noktalarına çizilen doğrular ve köşegen arasında oluşan alanlar aşağıdaki gibi dağılır: 2) Bir köşeden, karşı kenarların orta noktalarına çizilen doğrular ve orta noktaların birleşimi ile oluşan üçgen￾lerin alanları aşağıdaki gibi dağılır: 3) Köşegen üzerindeki bir nokta ile, paralelkenarın köşe￾leriyle oluşan üçgenlerin alanları aşağıdaki gibidir: 4) Paralelkenarda köşegen üzerindeki bir noktadan paralelkenarlar oluşturursak, şekildeki gibi alanlar birbirine eşit olur. 5) Köşelerden orta noktalara çizilen doğrularla oluşan alanlar aşağıdaki gibi dağılır : www.matematikkolay.net Not: 180 olduğunda, sin sin dır. Bu sebeple, paralelkenarın iç açılarının sinüs değeri her yerde aynıdır. O halde, Üçgenin sinüslü alan formülünü de etkin bir şekilde kullanabiliriz. Örnek: ÇÖZÜM: 1 A(BAE) a 4b sin 4S olsun. 2 1 A(BFC) b 2a sin 2S olur. 2 1 A(EDF) a 3b sin 3S olur. 2 A(ABCD) 2a.4b.sin 16S olur. A(BEF) 16S (4S 2S 3S) 16S 9S 7S olur. A(BEF) 7 S A(ABCD) 16 S 7 buluruz. 16