Olasılık-2 (11.Sınıf)

10.Sınıf Olasılık (Basit Olayların Olasılıkları) için Tıkla

Koşullu Olasılık

Örnek:

Çözüm:

 

Örnek:

  

Çözüm:

Bağımsız Olaylar

Örnek:

Çözüm:

Not:

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Not:

 

Bağımlı Olaylar

Örnek:

 

Çözüm:

Birleşik Olaylar

 

Örnek:

Çözüm:

 

Ağaç Diyagramı

Örnek:

Çözüm:

Deneysel ve Teorik Olasılık

Örnek:

Çözüm:

Not:

Örnek:

Çözüm:

Not:

 

---

OLASILIK-2 (11.SINIF) www.matematikkolay.net Koşullu Olasılık E örnek uzayında, B olayının gerçekleşmesi duru￾munda A olayının gerçekleşme olasılığına denir. P(A|B) şeklinde gösterilir. P(A B) P(A|B) şeklinde hesaplanır. P(B) E eş olumlu uzay koşullu olasılık ise, s(A B) P(A|B) şeklinde hesap yapabiliriz. s(B) Yani, bilinen durumlar artık yeni evrensel kümemiz olur. Örnek: Hilesiz bir madeni para 2 kez atılıyor. En az 1 kere tura geldiği biliniyorsa, diğer atışın yazı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Bilinen durumlar Yeni evrensel küme (T,Y), (Y,T), (T,T) 3 tanedir. Bilinen ve istenen durumlar (T,Y), (Y,T), 2 tanedir. O halde, 2 Olasılık tür. 3 Örnek: E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. 1 1 P(A|B) ve P(A B) olduğuna göre, 4 10 P(B) kaçtır? Çözüm: P(A B) P(A|B) dir. P(B) 1 1 1 10 4 P(B) 4 2 1 10 5 5.P(B) 2 .P(B) 2 P(B) tir. 5 Bağımsız Olaylar İki olayın gerçekleşmesi birbirini etkilemiyorsa bunlara denir. A ve B olayları bağımsız olaylar olsun. P(A B) P(A).P(B) dir (çarpımlarıdır). Ayrıca, P(A B) P(A).P(B) P(A|B) P(B) bağımsız olaylar P(B) P(A) dır. Aynı şekilde, P(B|A) P(B) dir. Örnek: Bir zar 2 defa atılıyor. Birinci atışta 3 ten büyük bir sayı ve ikinci atışta da 3 ten küçük bir sayı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Burdaki iki atış birbirini etkilemediği için, bağımsız olaylardır. İki olayın aynı anda gerçekleşme olasığını bulmak için iki ayrı olasılığı bulup çarpacağız. Buna göre, 1.atışta 3 ten büyük gelme olasılı 3 ğı 6 4,5,6 2 1 2 2 2.atışta 3 ten küçük gelme olasılığı 6 2,1 3 1 3 Buna göre, 1 1 1 olasılık buluruz. 2 3 6 Not: A ve B bağımsız olaylar ise, A veya B nin gerçekleşme olasılığı P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) P(A).P(B) dir. Örnek: Bir para ve bir zar atılıyor. Paranın tura veya zarın 6 gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: www.matematikkolay.net 6 2 Tura Zarın 6 Paranın gelme gelme tura ve olasılığı olasılığı zarın 6 gelme olasılığı İki olay birbirinden bağımsızdır. P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) P(A).P(B) dir. 1 1 1 1 1 1 1 6 2 1 2 6 2 6 2 6 12 Paranın tura ve zarın 6 gelmeme olasılığı 7 dir. 12 12 İki istenmeyen durumun aynı anda gerçekleşme ola￾sılığını tüm olasılıklardan (1) çıkartırız. 1 5 5 7 1 1 dir. 2 6 12 12 II. Yol: Örnek: A ve B bağımsız olaylardır. 1 1 P(A) ve P(A B) olduğuna göre, P(B) kaçtır? 3 2 Çözüm: 3 2 P(B) x olsun. P(A B) P(A) P(B) P(A).P(B) 1 1 x x 2 3 3 1 1 2x 2 3 3 1 1 2x 2 3 3 1 6 2 2x 3 1 1 4x x tür. 4 Not: Ayrık olay ve bağımsız olay farklı kavramlardır. Ayrık olaylarda P(A B) dir. Örnek uzayları aynıdır. Bir zar atıldığında A zarın 2 den küçük gelmesi B zarın asal sayı gelmesi olayları ay Örnek : rık olaylardır. P(A B) dir Bağımsız olaylarda ise, P(A B) P(A).P(B) dir. Bir zar ve bir para atıldığında A zarın 2 den küçük gelmesi B paranın tura gelmesi 1 olayları bağımsız olaylardır. P(A B) Örnek : 1 1 dir. 6 2 12 Bağımlı Olaylar A nın gerçek￾leşmesi duru￾munda B nin gerçekleşme olasılığı A olayının gerçekleşmesi B olayını etkiliyorsa bu iki olay bağımlı olaylardır. P(A B) P(A). P(B|A) d ır. Örnek: Yukarıdaki A kutusunun içinde 4 mavi ve 3 kırmızı, B kutusunun içinde ise 3 kırmızı ve 2 mavi top vardır. A kutusunun içinden 1 top alınıp, B kutusuna atılı- yor. Sonra B kutusunun içinden bir top çekiliyor. Bu çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır? Çözüm: A kutusundan A kutusundan B kutusundan B kutusundan kırmızı çekme mavi çekme mavi çekme mavi çekme olasılığı olasılığı olasılığı olasılığı Top sayısı Top sayısı 6 ya çıktı. 6 ya çıktı. Mavi sayısı da 3 e çı 3 2 4 3 7 6 7 6 ktı. 6 12 42 42 18 3 42 7 3 dir. 7 www.matematikkolay.net Birleşik Olaylar Bir deneyin bir çıktısından oluşan kümeye basit olay, birden fazla çıktısından oluşan kümeye ise denir. Zarın 3 gelmesi basit olaydır. Zarın tek sayı gelmesi birleşik birleşik olay Örnek : olaydır. Örnek: Özdeş 3 mavi, 4 kırmızı ve 5 yeşil top arasından 2 top seçiliyor. 2 topun da aynı renk gelme olasılığı kaçtır? (Toplar geri bırakılmıyor.) Çözüm: Hepsi mavi Hepsi kırmızı Hepsi yeşil 3 2 4 3 5 4 12 11 12 11 12 11 6 12 20 38 12.Kas 19 12 6 19 buluruz. .11 66 3 4 5 2 2 2 3 6 10 12 12 2 II. Yol: 6 .11 2 19 dır. 66 Ağaç Diyagramı Ağaç diyagramı kullanarak, deneyin bütün çıktılarını sergileyebiliriz. Aradığımız çıktının olasılığını buradan kolaylıkla hesaplayabiliriz. Örnek: Burcu ve Seda bir yazı tura oyunu oynayacaklardır. Burcu yazıyı, Seda ise turayı seçmiştir. Seçtiği taraf 2 kere gelen oyuncu, oyunu kazanmış olacak ve oyun bitecektir. Buna göre, Seda’nın 3 atış sonucunda bu oyunu kazanma olasılığı kaçtır? Yukarıdaki gibi ağaç diyagramını yaparsak , bu deneyin 6 çıktısı olduğunu görürüz. Bunların 2 tanesinde Seda 3 atış sonucunda kazan- 2 1 mıştır. Buna göre, olasılık tür. 6 3 Deneysel ve Teorik Olasılık Yapılan denemelere bağlı olarak hesaplanan ola￾sılığa denir. Gerçekleşen Durum Sayısı Deneysel olasılık Deney Sayısı deneysel olasılık Örnek: Hilesiz bir madeni para 12 kere havaya atıldığında 4 kere yazı gelmiştir. Buna göre, bu paranın yazı gelmesinin deneysel olasılığı kaçtır? Çözüm: 4 1 tür. 12 3 Not: Deneme yapmadan teorik olarak hesapladığımız olasılığa denir. teorik olasılık Örnek: Bir zar defalarca havaya atılmış ve üst yüze gelen sayılar şu şekilde olmuştur: 1 10 2 12 3 11 4 13 Gelen Sayı Kaç kere geldiği 5 14 6 12 Buna göre, bu zarın asal sayı gelmesinin deneysel olasılığı, teorik olasılığından ne kadar fazladır? www.matematikkolay.net Çözüm: 2,3,5 2 3 5 3 1 Teorik olasılık dir. 6 2 12 11 14 37 Deneysel olasılık dir. 10 12 11 13 14 12 72 37 1 37 36 1 Fark dir. 72 2 72 72 72 Not: Deney sayısı arttıkça, deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.