Üstel Fonksiyon
a, 1 den farklı pozitif bir reel sayı olsun. , şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir. Burada a sayısı üstel fonksiyonun tabanı ve x üs olarak adlandırılır.
Örnek 1: üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
3 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla bir üstel fonksiyondur.
üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
Tabandaki sayı sabit bir sayı olmalı, değişken olmamalı. O yüzden üstel bir fonksiyon değildir.
üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
sayısı da pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.
üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
5 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Ayrıca x değişkeni sadece 5’in üstündedir. 2 ise fonksiyonu 2 birim yukarı öteleyecektir. Üstel bir fonksiyon olmasını engellemez. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.
üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
Üstel fonksiyonda taban 1 olamaz. Çünkü üstel fonksiyonlar birebir ve örten olmak zorundadır. Tersi logaritmayı oluşturacaktır. 1’in tüm kuvvetleri 1 olduğundan tersi alınması imkansızdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyon değildir.
Üstel Fonksiyonda Artanlık Azalanlık
şeklinde bir üstel fonksiyonda,
ise artan fonksiyon
ise azalan fonksiyondur.
Not: Üstel fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyonlardır.
Örnek 2: , fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
4 sayısı 1 den büyük olduğu için artan bir fonksiyondur.
, fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?
Açıklaması
sayısı 0 ile 1 arasında olduğu için azalan bir fonksiyondur.
Örnek 3: fonksiyonlarının birebir ve örten olduğunu grafik çizerek gösteriniz.
Açıklaması
x eksenine çizilen paralel her doğru fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.
Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada fonksiyonunu kestiğinden örtendir.
x eksenine çizilen paralel her doğru fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.
Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada fonksiyonunu kestiğinden örtendir.
Alıştırma-1
Çözüm için Tıklayınız.
LOGARİTMA FONKSİYONU
olmak üzere,
şeklindeki üstel fonksiyonun tersine logaritma fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.
ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.
Örnek 4: ise x ‘i logaritma cinsinden ifade ediniz.
Cevabı Gör
dir.
ise x ‘i logaritma cinsinden ifade ediniz.
Cevabı Gör
dir.
ise x kaçtır?
Cevabı Gör
dur.
ise x kaçtır?
Cevabı Gör
tür.
Logaritmanın Tanımlı Olması İçin
fonksiyonunda
olmalı. Ayrıca,
olmalıdır.
Örnek 5: fonksiyonunun tanımlı olduğu aralığı bulunuz.
Çözüm için Tıklayınız.
olmalı
olmalı
Buna göre, tanım aralığı dir.
Alıştırma-2
Çözüm için Tıklayınız.
Logaritma Fonksiyonunun Grafiği
Yukarıdaki örneklerden anlaşılacağı üzere fonksiyonu,
a>1 için artan
0<a<1 için azalan bir fonksiyondur.
Ayrıca x-b=0 yapan x=b değerinde fonksiyon a doğru gider.
x-b=1 yapan x değerinde de fonksiyon x eksenini keser. Çünkü 0 dışındaki tüm sayıların 0’ıncı kuvveti 1 dir.
Tüm ters fonksiyonlarda olduğu gibi, logaritma ile tersi olan üstel fonksiyonun grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.
Alıştırma-3
Çözüm için Tıklayınız.
Alıştırma-4
Çözüm için Tıklayınız.