Limit

Soldan Yaklaşma

Örnek:

Sağdan Yaklaşma

Örnek:

Soldan Limit

Örnek:

Sağdan Limit

Örnek:

 Limit

Örnek:

Not:

 Not:

Örnek:

Limit Özellikleri

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

 

 Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

 Not:

Örnek:

 

Bileşke Fonksiyonlarda Limit

 

Örnek:

Not:

Örnek:

 

Parçalı Fonksiyonlarda Limit

Örnek:

Örnek:

 Çözüm:

 

Mutlak Değer Fonksiyonlarda Limit

Örnek:

Örnek:

BELİRSİZLİK DURUMLARI

0/0 BELİRSİZLİĞİ

Örnek:

Örnek:

Çözüm:

Sıkıştırma Teoremi

Örnek:

Sinx/x ve Sıkıştırma Teoremi

 

Trigonometride 0/0 belirsizlikleri

Örnek:

 

1/x in 0 ve sonsuz durumları

 

Örnek:

Not:

Not:

 

Sonsuz / Sonsuz Belirsizliği

 

Örnek:

 

Not:

 

Not:

Örnek:

 

Süreklilik

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

 

Uç Noktalarda Süreklilik

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Not:

 

Örnek:

 

Çözüm:

Ara Değer Teoremi

Örnek:

---

LİMİT KONU NOTLARI www.matematikkolay.net Soldan Yaklaşma x değişkeni bir a sayısına, a dan daha küçük değer￾lerle yaklaşıyorsa buna denir. x a şeklinde gösterilir. soldan yaklaşma Örnek: x 2 deniyorsa, 2’ye soldan yaklaştığımızı düşü- neceğiz. Yani, 1,9 1,99 1,999 gibi 2’den küçük değerlerle git gide 2 ye doğru yaklaşacağız. Sağdan Yaklaşma x değişkeni bir a sayısına, a dan daha büyük değer￾lerle yaklaşıyorsa buna denir. x a şeklinde gösterilir. sağdan yaklaşma Örnek: x 2 deniyorsa, 2’ye sağdan yaklaştığımızı düşü- neceğiz. Yani, 2,1 2,01 2,001 gibi 2’den büyük değerlerle git gide 2 ye doğru yaklaşacağız. Soldan Limit x a x, a’ya soldan yaklaşırken y f(x) fonksiyonu da bir b reel sayısına yaklaşıyorsa bu değere a noktasında￾ki denir. lim f(x) b olarak gösterilir. soldan limiti Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) lim f(x) 2 dir. (Mavi) Sağdan Limit x a x, a’ya sağdan yaklaşırken y f(x) fonksiyonu da bir b reel sayısına yaklaşıyorsa bu değere a noktasında￾ki denir. lim f(x) b olarak gösterilir. sağdan limiti Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) lim f(x) 1 dir. (Mavi) Limit x a x a x a f(x)’in a noktasındaki soldan ve sağdan limitleri birbirine eşitse, f(x)’in a noktasında limiti vardır. Yani, lim f(x) L ve lim f(x) L ise, lim f(x) L dir. Eşit değilse, limit yok tur. Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) limf(x) yoktur (sağdan ve soldan farklı). Not: Limitin olması için f(x) in o noktada tanımlı olması gerekmez. O noktada farklı bir değeri varsa, limiti de değiştirmez. Mesela, bir önceki örnekte f( 5) 1 iken x 5 lim f(x) 3 çıktı. Not: www.matematikkolay.net x a f(x)’in grafiği a noktasında bir kopmaya uğramamışsa limf(x) f(a) diyebiliriz. Örnek: x 3 x 1 x 4 lim f(x) f(3) 2 dir. lim f(x) 2 dir. lim f(x) yoktur. Limit Özellikleri Sabit fonksiyonlarda limit değeri her zaman aynı sabite eşittir. Örnek: x 2 Burasının ne olduğu￾nun önemi yok. f(x) 3 olsun. lim f(x) 3 tür. Not: Polinom tipli fonksiyonlarda limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. Örnek: 3 3 x 2 f(x) x x 1 olsun. lim f(x) f(2) 2 2 1 8 2 1 11 olur. Not: x c Farklı fonksiyonların x c noktasında limiti ise, bunların toplamının ya da farkının c noktası için limiti, ayrı ayrı elde edilen limit değerlerinin toplamı ya da farkına eşittir. lim (f( var x c x c x) g(x)) lim f(x) lim g(x) Örnek: x 2 x 2 x 2 lim f(x) 3 ve lim g(x) 5 olsun. lim [f(x) g(x)] 3 5 8 dir. Not: x c lim [f(x) g(x)] limitinin var olması, ayrı ayrı f(x) ve g(x) in x c noktasında limitlerin olduğunu göstermez. Örnek: x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 f(x) in x 3 te lim f(x) 4 ve lim f(x) 1 olsun. limiti yoktur. g(x) in x 3 te lim g(x) 1 ve lim g(x) 4 olsun. limiti yoktur. Ancak, lim [f(x) g(x)] 5 ve lim [f( x 3 x) g(x)] 5 tir. O halde, lim[f(x) g(x)] 5 tir. Not: x a x a c bir gerçel sayı olmak üzere, lim c.f(x) c.lim f(x) tir. Yani fonksiyonun katsayısını, limitin dışına çarpım olarak çıkarabiliriz. Örnek: x 3 x 3 x 3 lim f(x) 5 olsun. lim 6.f(x) 6 lim f(x) 6.5 30 olur. Not: x c x c x c x c x c x c x c x c x c lim f(x) ve lim g(x) lim[f(x).g(x)] limf(x) limg(x) tir. (Yani ayrı ayrı limit alıp, çarpabiliriz.) limf(x) f(x) lim tir. g(x) 0 ve limg(x) 0 g(x) limg(x) (Yani ayrı varsa n n x c x c ayrı limit alıp, bölebiliriz.) n bir tam sayı ise, lim f (x)= lim f(x) dir. (İlk önce fonksiyonun limitini bulup, sonra üssünü alabiliriz.)    Örnek: www.matematikkolay.net x 2 x 2 x 2 x 2 5 5 x 2 lim f(x) 3 ve lim g(x) 4 olsun. lim[f(x).g(x)] 3.4 12 dir. f(x) 3 lim tür. g(x) 4 lim f (x) 3 243 tür. Not: x c x c x c lim f(x) lim f(x) limf(x) tir. (Yani ilk önce limit alıp, daha sonra mutlak değerini alabiliriz.) varsa Örnek: x 6 x 6 lim f(x) 5 ise lim f(x) 5 tir. Not: n n x c x c x c lim f(x) lim f(x) lim f(x) tir. (Yani ilk önce limit alıp, daha sonra kökünü alabi￾liriz.) * Eğer n çift ise f(x) negatif olmamalı. (Tanım gereği, çift dereceli köklü bir ifadenin varsa içi negatif olamaz.) Örnek: 3 3 x 2 x 2 lim f(x) 8 ise lim f(x) 8 2 dir. Not: f(x) x c lim f(x) f(x) x c x c a bir üstel fonksiyon olsun. lim f(x) ise lim a a eşittir. var Örnek: f(x) 4 x 1 x 1 lim f(x) 4 ise lim 5 5 tür. Not: a a x c x c x c limf(x) ise, lim log f(x) log lim f(x) tir. Değerler, logaritmanın tanım aralığında olmalı. var Örnek: 2 2 x 1 x 1 lim f(x) 4 ise lim[log f(x)] log 4 2 dir. Not: x a x a x a x a x a değeri, trigonometrik fonksiyonları tanımsız yapmıyorsa lim sinx sina, lim cosx cosa lim tanx tana, lim cotx cota dır. Örnek: x 3 lim tanx tan 3 tür. 3 Bileşke Fonksiyonlarda Limit x m x n x m x m lim g(x) n ve lim f(x) k olsun. lim(fog)(x) k dır. x n noktasında, f fonksiyonu tanımlı ve limiti f(n) e eşitse, bileşke fonksiyonun limiti lim(fog)(x) f lim x m g(x) f(n) dir. Örnek: 2 x 3 f(x) x 1 ve g(x) x 2 olsun. lim (fog)(x) f(g(3)) f(1) 2 dir. Not: Bir fonksiyonun x a noktasında limitsiz olması, bileşke fonksiyonun x a da limitsiz olacağı anla￾mına gelmez. Böyle durumlarda soldan ve sağdan detaylı ince￾lemeliyiz. Örnek: www.matematikkolay.net x 3 x 3 2 x 3 4 4 e, 4’ten daha küçük değerlerle yaklaşıyor. lim (fof)(x) var mı, bakalım. Soldan başlayalım. lim (fof)(x) f(f(3 )) f(2) 2 dir. Sağdan başlayalım. lim (fof)(x) f( f(3 ) x 3 ) f(4 ) 2 dir. Aynı değeri bulduğumuz için limit vardır. lim (fof)(x) 2 dir. Parçalı Fonksiyonlarda Limit Parçalı fonksiyonlarda limit bakarken kritik nokta￾larda dikkatli olmalıyız. Sağdan ve soldan limitler birbirine eşitse, ancak o zaman limit var dır. Örnek: x 2 x 2 2 x 2 2 2x 1 x 2 f(x) 3 x 2 lim f(x) var mıdır? 10 x x 2 lim f(x) 2x 1 3 tür. x 2 de limit yoktur. lim f(x) 10 x 8 dir. Örnek: x a x 2 f(x) 2x a x 2 fonksiyonu tüm gerçel sayılarda limitli olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm: x 2 x 2 Tüm gerçel sayılarda limitli ise, x 2 noktasında da limiti vardır. Yani, lim f(x) lim f(x) olmalıdır. 2 a 4 a 2a 2 a 1 dir. Mutlak Değer Fonksiyonlarda Limit Mutlak değerin içini 0 yapan nokta, kritik noktadır. Kritik noktalarda sağdan ve soldan limite bakmalıyız. Diğer noktalarda ise limit, fonksiyonun görüntüsüne eşittir. Örnek: x 3 içerisi negatif x 3 x 3 2 x 3 lim var mıdır, inceleyelim. x 3 2 x 3 2 (x 3) lim lim x 3 x 3 içerisi pozitif x 3 x 3 2 dir. 2 x 3 2 (x 3) lim lim x 3 x 3 2 dir. O halde, limit yoktur. Örnek: x 1 x 1 2 x 3 lim var mıdır, inceleyelim. x 2 x 1 değeri, kritik değer değildir. Direkt,yerine yazabiliriz. 2 x 3 2 1 3 2.2 4 lim tür. x 2 1 2 3 3 BELİRSİZLİK DURUMLARI 0/0 BELİRSİZLİĞİ x a x a x a lim f(x) 0 ve limg(x) 0 olsun. f(x) 0 lim hesabında belirsizliği ile karşılaşılır. g(x) 0 Bu durumdan kurtulmak için sadeleştirme yapılıp, sonrasında limit hesaplanır. Örnek: 2 x 3 x 3 x 9 lim ? x 3 9 9 0 x 3 yazdığımızda belirsizliği oluşur. 3 3 0 (x 3) lim (x 3) x 3 x 3 lim (x 3) 3 3 6 buluruz. Örnek: 2 x 2 3x a lim limiti gerçek bir sayıya eşitse, a kaçtır? x 2 www.matematikkolay.net Çözüm: 2 2 0 x 2 değeri paydayı 0 yapıyor. Eğer durumu 0 oluşmazsa bu ifadenin bir limiti olmaz. x 2 için 3x a 0 olmalıdır. 3.2 a 0 12 a 0 a 12 dir. Sıkıştırma Teoremi x a x a x a x a x a L L x a lim f(x) lim h(x) L ve f(x) g(x) h(x) ise a noktasındaki limitleri için de aynı durum geçerli olacaktır. Yani, lim f(x) lim g(x) lim h(x) olur. O halde, lim g (x) L olmak zorunda kal ır. Örnek: x 3 x 3 x 3 Her x değeri için f(x) g(x) h(x) sağlanıyor olsun. lim f(x) 5 ve lim h(x) 5 ise, lim g(x) 5 tir. Sinx/x ve Sıkıştırma Teoremi OBD üçgeninin OBD daire OBC üçgeninin alanı diliminin alanı alanı 1 1 1 sinx 2 2 x 1 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 1 tanx 2 sinx x tanx 2 ile genişletelim. 2 2 2 sinx x tanx her tarafı sinx e bölelim. x 1 1 olur. lim alalım. sinx cosx x 1 lim 1 lim lim sinx cosx x 1 lim sinx x 0 x 0 1 x sinx O halde, lim 1 dir. Veya lim 1 dir. sinx x Trigonometride 0/0 belirsizlikleri x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 sinx sinax a sinax a lim 1 lim lim x bx b sinbx b x bx b sinbx b lim 1 lim lim sinx sinax a sinax a tanx tanax a tanax a lim 1 lim lim x bx b tanbx b tanax a lim sinbx b * cosx ve cotx için bu durumları direkt yazamayız. Örnek: x 0 x 0 x 0 sin5x 5 lim dır. 6x 6 tan2x 2 1 lim tür. sin6x 6 3 tan2x 0 0 lim 0 dır. belirsizliği yok. cos2x 1 0 1/x in 0 ve sonsuz durumları x x 0 x 0 x 0 1 lim 0 dır. x 1 1 1 lim yoktur. lim ve lim dur. x x x Örnek: x x 2 x 0 negatif çok küçük sayı 3 lim 0 dır. x 3 3 lim dir. x 2 3 3 lim dur. x 0 www.matematikkolay.net Not: x a a R olsun. lim 0 dır. x Not: x sinx sinx, [ 1, 1] aralığında sınırlı lim 0 dır. x olduğu için. Sonsuz / Sonsuz Belirsizliği x x x P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, P(x) der[P(x)] der[Q(x)] ise lim 0 dır. Q(x) P(x) Baş katsayıların der[P(x)] der[Q(x)] ise lim Q(x) oranına eşittir. P(x der[P(x)] der[Q(x)] ise lim ) dur. Q(x) Örnek: 2 2 x x x x 1 lim lim x 3 2 2 1 1 x x x 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 0 0 0 0 3 3 1 0 1 1 1 x x 2x 1 lim lim x 3 2 2 1 2 x x 2 2 2 2 3 2 x x 1 2 2 0 2 dir. 3 3 1 0 1 1 x x 3x 1 lim lim x 3 2 2 1 3x x x 2 2 2 1 3 0 3 3 1 0 1 1 x Not: x a Limitin sonucu bir reel sayı çıkıyorsa limit vardır, diyebiliriz. ifadesi, birer reel sayı değildir. Bu sebeple lim f(x) ise, f(x) in x a da limiti yoktur. Not: x x x x x x 0 ile 1 arasında Üstel fonksiyonun sonsuzdaki durumu a 1 ise lim a dur. 0 a 1 ise lim a 0 dır. da ise, bu durumlar yer değiştirir. 1 a 1 ise lim a a 0 a x x 1 den büyük dır. 1 0 a 1 ise lim a a dur. a Örnek: x x x x x x x x lim 6 dur. 1 lim 7 0 dır. 7 1 lim 0 dır. 8 1 lim 9 dur. 9 Süreklilik Tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyonu, kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak fonksiyon süreklidir. Tanımlı olduğu aralıkta kalemi kaldırdığımız noktalar – da ise fonksiyon süreksizdir (sürekli değildir.). Örnek: x 3 te, x 1 de ve x 4 te kopma olduğu için f(x) sürekli değildir. Diğer noktalarda ise süreklidir. x a x a f(x) fonksiyonu x a da sürekli ise, lim f(x) f(a) lim f(x) eşitliğini sağlar. Not : www.matematikkolay.net Mesela, yukarıdaki grafikte x 2 için, sağdan ve soldan limitler aynı ve x 2 değeri de buna eşittir. Not: Tanımlı olmayan noktada süreklilik inceleyemeyiz. O yüzden bu noktalarda süreksizdir, demek hatalıdır. Örnek: x 2 için fonksiyon tanımlı olmadığı için sürekliliğe bakılamaz. Yani, f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta süreklidir. Not: Polinom fonksiyonlar, reel sayılarda süreklidir. 3 2 f(x) x 3x reel sayılarda süreklidir. x g(x) x 4 te tanımsız olacağı için x 4 g(x) reel sayılarda süreklidir, diyemeyiz. Uç Noktalarda Süreklilik Uç noktalardaki süreklilik için tek taraflı limitin fonksiyonun değerine eşit olması yeterlidir. Çünkü, uç noktalarda çift taraflı limit arayamayız. Örnek: 5 x ( , 5] aral ığında süreklidir. Not: f(x) fonksiyonu sürekli ise, f(x) de süreklidir. Örnek: 2 x 3x fonksiyonu reel say ılarda süreklidir. Not: f ve g sürekli ise, f g, f.g, k.f(x) fonksiyonları da süreklidir. f(x), sin[f(x)] gibi başka bir fonksiyonun içinde olursa, tanım kümesi ile sınırlı olarak süreklidir. g(x) 0 olmayan noktalarda da f süreklidir. g Not: x a da g(x) sürekli ve f(x) de g(a) da sürekli ise (fog)(x) fonksiyonu süreklidir, diyebiliriz. x a da g(x) sürekli değilse, ayrıntılı incelemeliyiz. Örnek: 4 x 1 1 x 0 f(x) g(x) 4 x 1 x x 0 (fog)(x) bileşke fonksiyonu kaç noktada süreksizdir? ÇÖZÜM: 1 x 0 x 0 x 0 olan noktalarda (fog)(x) f(g(x)) f( 1) 4 tür. Süreklidir. x 0 noktasında, lim (fog)(x) f(g(0 )) f( 1) 4 tür. lim (fog)(x) f(g(0 )) f(0 ) 4 tür. (fog)(0) f( 1) 4 tür. Sürek x 1 x 1 lidir. 0 x 1 olan noktalarda g(x) hep 0 ile 1 arasında olduğu için (fog)(x) 4 olur. Sürekli olur. x 1 olduğunda, f(x) için kritik noktaya gelinir. lim (fog)(x) f(g(1 )) f(1 ) 4 tür. lim (fog)(x ) f(g(1 )) f(1 ) 4 tür. Limitler farklı olduğu için, sürekli olamaz. x 1 olan noktalarda g(x) hep 1 den büyük olduğu için (fog)(x) 4 olur. Sürekli olur. Sadece x 1 de süreksizdir. Ara Değer Teoremi www.matematikkolay.net f(x) fonsiyonu [a, b] aralığında sürekli olsun. c değeri f(a) ile f(b) arasında ise, f(x) c e şitliğini sağlayan en az bir x değeri vardır. Örnek: f(x) fonksiyonu reel sayılarda sürekli bir fonksiyon olsun. f(1) 2 ve f(5) 4 olsun. f(x) 0 ‘ı sağlayan en az bir kök vardır. (Birden fazla da olabilir.)