Kümeler

Örnek:

 

 

Küme Problemleri

---

KÜMELER KONU NOTLARI www.matematikkolay.net Elemanları iyi tanımlanmış, birbirinden faklı nesneler topluluğuna denir. Kişiden kişiye değişebilecek, “bazı”, “güzel” gibi ifadelerle küme belirtilemez. Asal rakamlar ifadesi küme Örnek : bir küme belirtir. Bazı günler ifadesi bir küme belirtmez. Kümeler, A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan her bir nesneye eleman denir. s(A) A kümesinin eleman sayısı demektir. x A x, A kümesinin elemanıdır. x A x, A kümesinin e lemanı değildir. Kümelerin elemanları { } parantezinin içinde virgül￾le ayrılarak yazılmasına ile gösterim denir. A {x, y, z, t} Kümedeki elemanların yer değiştirme Kümelerin Gösterimi 1 – Liste Yöntemi liste yöntemi Örnek : si kümeyi değiştirmez. {1, 2, 3, 4} {2, 3, 4, 1} dir. Kümedeki her eleman bir kere yazılır. {1, 1, 2} Kümenin elemanlarını kapalı bir eğri içinde, her ele￾manın önüne nokta koyarak da gösterebiliriz. Bu yöntemde kapalı şekil daire, dikdörtgen, elips gibi şekiller olabilir. 2 – Venn Şeması ile Gösterim: Örnek : Elemanların ortak özelliklerinden yararlanarak da kümeyi ifade edebiliriz. {x| x’lerin ortak özelliği} {x| x 5, x N} “x öyle ki 5 ten küçük doğal sayılardır.” şeklinde 3 – Ortak özellik yöntemi: Örnek : okunur. Elemanları 0, 1, 2, 3 ve 4 tür. | sembolü yerine “:” iki nokta da kullanılabilir. Eleman sayıları bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere , edilemeyenlere ise denir. A {x| x 5, x N} sonlu küme B {x| x 5, x Z} sonsuz küme sonlu küme sonsuz küme Örnek : Elemanı olmayan kümeye denir. veya { } sembolleriyle gösterilir. Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları kapsayan kümeye denir. Genellikle E harfi ile gösterilir. boş küme evrensel küme A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A, B’nin bir alt kümesidir. A B veya A B diye gösterilir. Biz bunu, B kümesi A kümesini kapsar diye de ifade edebiliriz. B A veya B A diye g ALT KÜME österilir. A kümesinin en az bir elemanı, B’nin bir elemanı değilse A, B’nin bir alt kümesi olamaz. Bu durum da A B diye gösterilir. www.matematikkolay.net B A dır. (B, A’nın bir alt kümesidir.) C A dır. (C, A’nın bir alt kümesi değildir.) A B dir. (A, B yi kapsar.) Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir. A Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. A A A B ve B D ise A D dir. Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir. E: evrensel küme olsun. A E , Not : Doğal Tam Reel Rasyonel Sayılar Sayılar Sayılar Sayılar B E dir. Sayı kümeleri arasında da alt küme ilişkisi vardır. N Z Q R dir. n 5 n s(A) n ise alt küme sayısı 2 dir. 5 elemanlı bir kümenin 2 32 farklı alt kümesi vardır. Kümenin kendisi hariç, alt küme sayısına denir ve 2 1 şeklinde hesapl Alt Küme Sayısı Örnek : özalt küme sayısı 6 anır. 6 elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2 1 64 1 63 tür. Örnek : Tüm elemanları aynı olan kümelere denir. A B şeklinde gösterilir. A B ise A B ve B A dır. Eleman sayıları eşit olan kümelere ise denir. Not : eşit kümeler denk küme – ler 1) A {x| x çift rakam} B {x| x asal sayı, x 10} kümeleri veriliyor. A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A B {x| x rakam} B) A B {x| 1 x 9, x N} C) A B {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} D) A B { 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8} E) A B {2} A ve B iki küme olsun. A ile B nin tüm elemanların￾dan oluşan kümeye A ve B’nin birleşim kümesi denir. A B diye gösterilir. Sembolik mantıkta ( ) ile ifade edilir. A B {x| x A ve Kümelerin Birleşimi veya ya x B} dir. A B Taral ı Bölge www.matematikkolay.net A ve B iki küme olsun. A ile B nin ortak elemanla￾rından oluşan kümeye A ve B’nin kesişim kümesi denir. A B diye gösterilir. Sembolik mantıkta ( ) ile ifade edilir. A B {x| x A ve x Kümelerin Kesişimi ve B} dir. A B Taral ı Bölge A A A dır. Tek Kuvvet Özelliği A A A dır. A A dır. Boş Kümenin Etkisi A dir. A B B A dır. Değişme Özelliği A B B A dır. A (B C) (A B) C dir. Birleşme Özelliği A (B C) (A B) C dir Özellikler . Sonuç Boş Küme ise A B ise A ve B dir. A B ise A ve B ayrık kümelerdir. A B A dır. Alt kümesi ise (B A ise) A B B dir. A E E dir. E evrensel küme ise A E A dır. Birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. A (B C) (A B) (A C) dir. Aynı şekilde; Kesişim işleminin de, birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. A (B Dağılma Özelliği C) (A B) (A C) dir. A ve B iki küme olsun. s(A B) s(A) s(B) s(A B) dir. Eğer ayrık küme iseler, s(A B) s(A) s(B) olur. Çünkü ayrık kümelerin kesişimleri boş kümedir. Birleşim kümesinin eleman sayısı s(A) 5, s(B) 6, S(A B) 2 ise s(A B) 5 6 2 9 dur. Örnek : 3 kümenin birleşimin eleman sayısını bulma A, B ve C kümeleri olsun. s(A B C) s(A) s(B) s(C) s(A B) s(A C) s(B C) s(A B C) dir. Not : A ve B iki küme olsun. A’da olup da B’de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye denir. A B veya A \ B diye gösterilir. A {1, 2, 3, 4, 5} ve B {1, 3, 5} olsun. Kümelerde Fark A fark : B i Ö k r ü es nek m A B {2, 4} tür. A B (A B) (A B) (B A) dır. Bu sebeple s(A B) s(A B) s(A B) s(B A) dır. www.matematikkolay.net Ayrıca bir kümeyi A (A B) (A B) olarak da düşünebiliriz. s(A) s(A B) s(A B) dir. A ve B iki küme olsun. A A dir. A A dır. A dir. A E dir. A B ise A B dir. A ve B ayrık kümeler ise A B A dır. Özellikler E evrensel küme ve A kümesi E nin bir alt kümesi olsun. A kümesinde olmayıp, E de olan tüm elemanlara A kümesinin tümleyeni denir ve A’ olarak gösterilir. Kümenin Tümleyeni E={x | x bir rakam} ve A={x | x bir asal rakam} olsun. A’={0, 1, 4, 6, 8, 9} dur. Örnek : Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel küme – yi verir. Dolayısıyla eleman sayıları toplamı, evren￾sel kümenin eleman sayısıdır. s(A) s(A’) s(E) dir. Not : (A’)’ A dır. E ‘ ‘ E A A’ A A’ E E A A’ A B ise B’ A’ dir. Özellikler Not : (A B) A B’ e şittir. (A B)’ A’ B’ (A B)’ A’ B’ dir. De Morgan Kuralı Küme sembolleriyle, sembolik mantık göste￾rimleri arasında benzerlik vardır. Kümeler Sembolik Mantık 0 E 1 Tümleyen (‘) Değili (‘) Not : KÜME PROBLEMLERİ A : Almanca bilenler İ: İngilizce bilenler F: Fransızca bilenler olmak üzere www.matematikkolay.net Almanca bilenler a x y t dir. Almanca ve Fransızca bilenler y t dir. İngilizce veya Fransızca bilenler b c x y z t Yalnız bir dil bilenler a b c En az bir dil bilenler a b c x y z t En çok bir dil bile nler a b c d Sadece iki dil bilenler x y z En az iki dil bilenler x y z t En çok iki dil bilenler d a b c x y z Üç dili de bilenler t Hiç bir dil bilmeyenler d dir. İngilizce bilmeyenler a c d y dir.