Kombinasyon Konu Anlatımı

Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla

r, n ∈ N ve r≤n olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, C(n, r) ya da $\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)$ ile gösterilir.

$\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\frac{{n!}}{{(n-r)!.r!}}$ dir.

Not: Permütasyonda sıralama önemli iken, Kombinasyonda sıralama önemli değildir. Örneğin, a-b ve b-a şeklinde sıralama permütasyonda iki farklı durum iken; {a, b} ve {b, a} kümeleri kombinasyon için aynı durumdur. Çünkü ikisi de aynı kümedir.

Bu sebeple, $\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\frac{{P(n,\text{ r})}}{{r!}}$ dir.

Örnek: $\left( \begin{array}{l}8\\2\end{array} \right)=?$

Çözüm için Tıklayınız.

$\left( \begin{array}{l}8\\2\end{array} \right)=\frac{{8.7}}{{2!}}=\frac{{56}}{2}=28$ dir.

Örnek: $\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=?$

Çözüm için Tıklayınız.

$\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\frac{{4.3}}{{2.1}}+\frac{{4.\cancel{{3.2}}}}{{\cancel{{3.2}}.1}}=6+4=10$ dur.

Alıştırma 1

Çözüm

Kural: $\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\n-r\end{array} \right)$ dir.

Mesela, $\left( \begin{array}{l}8\\3\end{array} \right)$ ile $\left( \begin{array}{l}8\\5\end{array} \right)$ birbirine eşittir.

Bu sebeple $\left( \begin{array}{l}n\\a\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}n\\b\end{array} \right)$ eşitliğini gördüğümüzde iki ihtimal düşüneceğiz: a=b olabilir ya da a+b=n olabilir.

Örnek: $\left( \begin{array}{l}5\\2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\a\end{array} \right)$ ise a’nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözüm

$a=2$ ya da $a=5-2=3$ olabilir. Bu değerleri çarparsak $2.3=6$ buluruz.

Alıştırma 2

Çözüm

Kural: $\left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right)+...+\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)={{2}^{n}}$ dir.

Bunu kümeler gibi düşünebiliriz.

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ${{2}^{n}}$ dir.

Boş küme alt kümesidir. $\left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)$

1 elemanlı alt küme sayısı $\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)$ dir.

2 elemanlı alt küme sayısı $\left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right)$ dir.

…

Kendisi de bir alt kümedir. $\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)$ dir.

Dolayısıyla bu alt kümelerin toplamı ${{2}^{n}}$ i vermek zorundadır.

Örnek: $\left( \begin{array}{l}7\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\4\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\5\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\6\end{array} \right)=?$

Çözüm

${{2}^{7}}=\left( \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right)+\underbrace{{\left( \begin{array}{l}7\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\4\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\5\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\6\end{array} \right)}}_{{Sorulan\text{ K }\!\!\imath\!\!\text{ s }\!\!\imath\!\!\text{ m}\text{, Buraya x diyelim}\text{.}}}+\left( \begin{array}{l}7\\7\end{array} \right)$

$128=\left( \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right)+x+\left( \begin{array}{l}7\\7\end{array} \right)$

$128=1+x+1$

$x=126$ buluruz.

Not: $\left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)=1,\text{ }\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)=n,\text{ }\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\n-1\end{array} \right)=n,\text{ }\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)=1$ dir.

Kural: $\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\r+1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}n+1\\r+1\end{array} \right)$ dir.

Örnek: $\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\3\end{array} \right)$ eşit midir? İnceleyelim.