İntegral alma (Türevin Tersi)
Örnek:
Diferansiyel
Örnek:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Not:
Örnek:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
İntegral Alma Kuralları
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
2.sayfaya geçmek için Tıklayın.
(Belirli İntegral)
| Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla |
| İntegral Konu Notlarını pdf indir |
| Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.) |
İNTEGRAL KONU NOTLARI www.matematikkolay.net İntegral alma (Türevin Tersi) Türevi belli olan bir fonksiyonun kendisini bulma işlemine integral alma işlemi denir. (Biz buna türevin tersi de diyebiliriz.) işareti de integral sembolüdür. Örnek: 2 2 Türevin integral Türev x e göre sabiti alındığını (Değerini anlıyoruz. bilmiyoruz) x 5x 3 ün türevi 2x 5 tir. Buna göre, (2x 5) dx x 5x c dir. Diferansiyel dy y f(x) fonksiyonunun türevini f'(x) olarak dx gösterebiliyorduk. d(f(x)) f'(x) olarak yazabiliriz. dx i karşıya atarsak dx d(f(x)) f'(x).dx olur. İşte bu ifadeye f(x) in denir. diferansiyeli Örnek: 3 2 Türev f(x) in türevi değişkeni 2 Türev f(x) in türevi değişkeni f(x) x 2x ve g(t) t 1 olsun. f(x) in diferansiyeli d(f(x)) (3x 2). dx tir. g(t) nin diferansiyeli d(g(t)) (2t) . dt tir. Not: İntegralin sonucunda hep bir c sabiti olur. Çünkü, türevini alınca bu ifade kayboluyor. Bunun değerini bilmediğimiz için, yerine c yazıyoruz. Örnek: d(f(x)) (2x 1)dx ise f(x) nedir? Çözüm: f(x) in türevi 2 2 d(f(x)) (2x 1) dx x nin türevi 2x tir. x in türevi 1 dir. Buna göre, f(x) (2x 1)dx x x c dir. Not: c integral sabitinin değerini bilmediğimiz için bu integrale denir. Belirsiz İntegral Not: Hangi değişkene göre türev alınmışsa, o değişkene göre integral almalıyız. Örnek: 2 x xdx c 2 5dx 5x c 5dt 5t c xdt xt c dir. İntegrali Türevi dx Not : Örnek: 2 3 (ax b)dx 2x 5x 1 oldu ğuna göre, a b ? Çözüm: 3 2 6 5 2x 5x 1 in türevi integralin içinde olmalıdır. Türevi 6x 5 ax b a b 11 buluruz. Not: d f(x)dx f(x) tir. dx Bir fonksiyonun integralinin türevi, yine fonksiyonun kendisine eşittir (İntegral ve türevde aynı değişken kullanılırsa). Örnek: d 2 (x sinx)dx ? dx Çözüm: www.matematikkolay.net 2 2 İçerdeki ifade aynen çıkar. d (x sinx)dx x sinx tir. dx Örnek: d 2 (x 2)dx ? dt Çözüm: 2 t değişkeni gelmeyeceği için, bir sabitin türevini alıyormuş gibi yapacağız. d (x 2)dx 0 dır. dt Not: f(x) in diferansiyeli d(f(x)) f'(x).dx idi. O halde, d f(x).dx f(x).dx ‘.dx f(x).dx tir. Yani “d” ifadesi sadece integral işaretini ortadan kaldırır, dx ka lır. d f(x)dx Örnek: 3 d (x x)dx ? Çözüm: 3 3 Sadece integral işareti kalkar. d (x x)dx (x x)dx olur. Not: d(f(x)) f(x) c dir. Çünkü d(f(x)) f'(x).dx idi. İntegralini alırsak f(x) c olur. Örnek: 2 f(x) d(x 2x) ve f(1) 4 olduğuna göre, f(2) kaçtır? Çözüm: 2 2 2 f(x) d(x 2x) x 2x c dir. f(1) 4 ise 1 2 c 4 x 1 dir. f(x) x 2x 1 olur. f(2) 4 4 1 9 buluruz. İntegral Alma Kuralları n 1 n n, 1 den farklı bir rasyonel sayı olsun. x x dx c dir. n 1 Yani üssü bir artırız. Ayrıca yeni üs değerini bölü olarak yazarız. Örnek: 4 x dx ? Çözüm: 5 4 x x dx c dir. 5 Örnek: xdx ? Çözüm: 3 1 3 2 2 2 x 2 2 3 x dx c x c x c dir. 3 3 3 2 Örnek: 3 1 dx ? x Çözüm: 2 3 2 x 1 x dx c c dir. 2 2x Not: k sabit bir reel sayı olsun. kf(x)dx k f(x)dx olarak k’yı integralin dışına alabiliriz. Örnek: 2 9x dx ? Çözüm: 3 2 3 x 9 x dx 9 c 3x c dir. 3 Not: www.matematikkolay.net İntegralin, toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx olarak ister ayrı ayrı integral alabiliriz, istersek de aynı integralin içinde ç özebiliriz. Örnek: 2 2 5x dx 2x dx ? Çözüm: 3 2 2 2 3 x 5x dx 2x dx 3x dx 3 c x c dir. 3 Örnek: 2 (x x 1)dx ? Çözüm: 3 2 2 x x (x x 1)dx x c dir. 3 2 Not: Çarpma ve bölme işlemlerinde integralin dağılma özelliği yoktur. Yani ayrı ayrı integral alamayız. Örnek: (x 1)(x 1)dx ? Çözüm: 3 2 x (x 1)dx x c dir. 3 DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ Değişken değiştirme yöntemiyle, karışık olan ifadeleri daha basit hale getirebiliriz. Örnek: 3 6 2 (x 4) .3x dx ? Çözüm: 3 2 7 3 7 3 6 2 6 u du x 4 u olsun. Diferansiyel alırsak, 3x dx du olur. u (x 4) (x 4) .3x dx u du c c dir. 7 7 Not: n 1 n f (x) f (x)f'(x)dx c dir. n 1 u f(x) dönüşümü yapılarak bulunabilir. Örnek: 4 5.f (x).f'(x)dx ? Çözüm: 5 4 4 5 5 f(x) u olsun. f'(x)dx du olur. u 5.f (x).f'(x)dx 5.u .du 5 c u c 5 f (x) c dir. Not: n n n n İntegralin içinde köklü ifade varsa, bu ifadeye kökten kurtulacak şekilde değişken vermek, kolaylık sağlayacaktır. Yani f(x) için f(x) u dersek, u u olarak çıkar. Örnek: 2 4x x 1.dx ? Çözüm: 2 2 2 2 2 udu u 2 2 x 1 u olsun. 2xdx 2udu xdx udu dur. 4x x 1.dx 4. x 1.xdx 4. u .u.du 4.u.u.du 4.u .du 3 2 3 u 4 c 3 (x 1) 4 c dir. 3 www.matematikkolay.net Not: f'(g(x)).g'(x).dx f'(u).du f(u) c f(g(x)) c (fog)(x) c dir. Örnek: 2 3 x .f'(x ).dx ? Çözüm: 3 2 2 3 2 3 du x u olsun. 3x dx du x dx olur. 3 1 f(u) f(x ) x .f'(x ).dx f'(u).du c c dir. 3 3 3
