Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla
gibi ifadelerin açılımını yaptığımızda terimlerin başına birtakım katsayılar gelir. Örneğin,
tür. Terimlerin başında 1,4,6,4,1 katsayıları vardır. Bu katsayıları toplu olarak Pascal üçgeninde görebiliriz.
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/c1.gif)
Yukarıdaki örnek 4.derece bir örnek olduğu için, (4+1).satırdaki katsayılar geldi. Dolayısıyla n.derece bir ifadede (n+1). satırdaki katsayıların gelebileceğini söyleyebiliriz.
Biz bu katsayıları kombinasyon kullanarak da yazabiliriz.
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/pascal-üçgeni-kombinasyon-748x1024.gif)
Örnek:
Pascal üçgeninin 8.satırındaki baştan 3.sayı kaçtır?
Cevabı Görmek için Tıklayınız.
8.satırındaki sayılar 7 nin kombinasyonları şeklinde ifade edilir. Baştaki sayı dır. Dolayısıyla 3.sayı
olacaktır.
dir.
Binom Özdeşliği
Pascal üçgenine dikkat edersek, her bir sayı üstündeki iki sayının toplamı ile oluşmuştur. Mesela 4+6=10 u oluşturmuştur.
Bunu kombinasyon ile ifade edersek ü oluşturmuştur. Bu durumu
şeklinde genelleştirebiliriz. Bu özdeşliğin adı da Binom Özdeşiliği dir.
Örnek:
Çözüm
tir.
Binom Katsayıları ile Alt küme Sayısı Arasındaki Benzerlik
in açılımındaki katsayılar, n elemanlı bir kümenin 0, 1, 2, … , n elemanlı alt küme sayıları ile aynıdır. Mesela,
ün açılımındaki kat sayılar 1, 3, 3 ,1 şeklindedir. 3 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı
=1 dir. 1 elemanlı alt küme sayısı
=3 tür. 2 elemanlı alt küme sayısı
=3 tür. 3 elemanlı alt küme sayısı da
=1 dir.
Bir kümenin tüm alt kümelerinin tane olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
dir.
Alıştırma 1
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_s1-1024x363.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_c1-954x1024.gif)
Binom Açılımı
şeklinde x’in azalan kuvvetlerine göre yazılmasına binom açılımı denir.
Örnek: in binom açılımını yapınız.
Çözüm
Örnek: ün binom açılımını yapınız.
Çözüm
dir.
Kural:
açılımında n + 1 tane terim vardır.
ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.
ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak bulunur.
Örnek:
ifadesindeki terim sayısını, sabit terimi ve katsayılar toplamını bulunuz.
Çözüm
Derecesi 10 olduğundan 11 terim vardır.
Sabit terimi ise dur.
Katsayılar toplamı ise dir.
Kural:
ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r+1). terim
dir.
Örnek:
ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4.terim ne olur?
Çözüm
tür. Buna göre,
buluruz.
Not:
açılımındaki her terimdeki çarpanların üsleri toplamı n’e eşittir.
Alıştırma 2
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_s2-1024x338.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_c2-1024x309.gif)
Alıştırma 3
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_s3-1024x363.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_c3-1024x813.gif)
Alıştırma 4
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/s4-1024x283.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/09/bnm_alis_c4-1024x1008.gif)
Not:
açılımındaki ortanca terim
dir.
Alıştırma 5
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_s5-1024x413.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_c5-1024x393.gif)
Alıştırma 6
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_s6-1-1024x404.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_c6-1-724x1024.gif)
Alıştırma 7
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_s7-1024x386.gif)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Çözüm
![](https://www.matematikkolay.net/wp-content/uploads/2019/10/bnm_alis_c7-1-1024x472.gif)
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)