Dönüşümler

ÖTELEME

Örnek:

 

Noktanın Ötelenmesi

Örnek:

Örnek:

Örnek:

SİMETRİ

Örnek:

 

Not:

Noktanın Noktaya Göre simetrisi

Örnek:

Not:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

 

Noktanın Doğruya Göre Simetriği

Örnek:

Doğrunun Noktaya Göre Simetriği

Örnek:

Not:

Bir Doğrunun Kendisine Paralel Bir Doğruya Göre Simetriği (Fen Lisesi)

Örnek:

 

Not: (Fen Lisesi)

Örnek:

DÖNME

Örnek: 

Not:

Not:

Örnek:

Örnek:

 

Örnek:

Not:

Not:

Dönüşümlerin Bileşkesi

Örnek:

Not:

Örnek:

Dönme Simetrisi

Örnek:

---

DÖNÜŞÜMLER KONU NOTLARI www.matematikkolay.net ÖTELEME Analitik düzlemde, bir şeklin belli bir doğrultuda yer değiştirmesine denir. Bir şekil ötelendiğinde üzerindeki tüm noktalar da aynı şekilde ötelenir. Öteleme sonucu, şeklin görüntüsü, yönü, öteleme biçimi, boyutu değişmez. Sadece konumu değişir. Örnek: Noktanın Ötelenmesi A(x, y) noktası x ekseni doğrultusunda pozitif a br ötelenirse A'(x a, y) (yani a br sağa ötelenirse) negatif a br ötelenirse A'(x a, y) (yani a br sola ötelenirse) y ekseni d oğrultusunda pozitif b br ötelenirse A'(x, y b) (yani b br yukarı ötelenirse) negatif b br ötelenirse A'(x, y b) (yani b br aşağı ötelenirse) olur. Örnek: x ekseni doğrultusunda pozitif 4 br ötelenirse y ekseni doğrultusunda negatif 2 br ötelenirse A(1, 2) A'(5, 2) olur. B(3, 6) B'(3, 4) olur. Analitik düzlemde bir fonksiyon, x ekseni boyunca a br, y ekseni boyunca da b br ötelenmiş olsun. Ötelenmiş fonksiyonu bulmak için, x yerine (x a), y yerine de (y b) ya Not : zılır. Örnek: 2x 3y 5 0 doğrusu 3 br sağa, 1 br aşağı ötelenirse 2(x 3) 3(y 1) 5 0 2x 6 3y 3 5 0 2x 3y 8 0 doğrusu elde edilir. www.matematikkolay.net Örnek: 2 2 2 2 2 y x 4x 3 parabolü 1 br sola, 2 br aşağı ötelenirse y 2 (x 1) 4(x 1) 3 y 2 x 2x 1 4x 4 3 y 2 x 6x 2 y x 6x parabolü elde edilir. SİMETRİ Bir şeklin tüm noktalarının bir noktaya veya bir doğruya göre eşit mesafede diğer tarafta oluşma￾sına denir. Simetri sonucu, şeklin yönü ve konumu değişir ama boyutu değişmez simetri (yansıma) dönüşümü . Örnek: Not: Şeklin simetriğinin alındığı noktaya denir. Şeklin simetriğinin alındığı doğruya da denir. simetri merkezi simetri ekseni Noktanın Noktaya Göre simetrisi 1 1 2 2 1 2 1 2 A(x , y ) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği A'(x , y ) olsun. [AA’] doğru parçasının orta noktası B(a, b) olduğuna göre, x x y y a ve b dir. 2 2 olarak şunu da kullanabiliriz: A(x, y) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği A'(2a x, 2b y) noktas ıdır. Formül Örnek: (1, 2) noktasının (2, 5) noktasına göre simetriği (2.2 1, 2.5 2) (3, 8) noktasıdır. (1, 2) (2, 5) ? x, 1 br artmış. 1 br daha artacak 3 olur. y, 3 br artmış. 3 br daha artacak 8 II.Yol: olur. (3, 8) noktası Not: B S (A) A noktas ının B ye göre simetriği demektir. Not: Ordinatın işareti değişi A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği A'(x, y) dir. r. Apsisin işareti değişir. y eksenine göre simetriği A'( x, y) dir. orijine göre simet Hem apsisin hem de ordinatın işareti değişir. riği A'( x, y) dir. Örnek: x eksenine göre simetriği y eksenine göre simetriği orijine göre simetriği A(2, 3) A'(2, 3) tür. B( 1, 4) B'(1, 4) tür. C(1, 2) C'( 1, 2) dir. www.matematikkolay.net Not: Apsis ile ordinatın yeri değişir A(x, y) noktasının y x eksenine göre simetri ği A'(y, x) tir. . Apsis ile ordinatın yeri değişir. Ayrıca işaretleri de değişir. y x eksenine göre simetri ği A'( y, x) tir. Örnek: y x doğrusuna göre simetriği y -x doğrusuna göre simetriği A(2, 3) A'(3, 2) dir. B( 1, 4) B'( 4, 1) dir. Not: A(x, y) noktasının x a doğrusuna göre simetriği A'(2a x, y) dir. y b doğrusuna göre simetriği A'(x, 2a y) dir. Örnek: x 1 doğrusuna göre simetriği y 1 doğrusuna göre simetriği A(2, 4) A'( 4, 4) tür. B( 2, 3) B'( 2, 1) dir. Noktanın Doğruya Göre Simetriği AA’ d AA’ A(x, y) noktasının d doğrusuna göre simetriği A’ noktası olsun. AA’ ve d doğrusunun eğimleri çarpımı 1 dir. m .m 1 (Dik oldukları için) A ve m bilgisiyle AA’ doğrusunun denklemi elde edilir. AA’ doğrusu ile d doğrusunun kesişim noktası (P) bulunur. Sonra da A noktasının P noktasına göre simetriği bulunur. Örnek: www.matematikkolay.net A( 1, 2) noktasının y 2x doğrusuna göre simetriğini bulalım. A noktasının simetriği olan nokta A’ noktası olsun. AA’ doğrusu, y 2x doğrusuna diktir. y 2x doğrusunun eğimi 2 dir. O halde, AA’ doğrusunun eğ 1 imi olmalıdır. 2 Çünkü dik doğruların eğimleri çarpımı 1 dir. 1 Eğimi olan ve A( 1, 2) noktasından geçen 2 doğrunun denklemini bulalım. 1 y 2 (x 1) 2 2y 4 x 1 x 2y 3 0 dır. Şimdi bu iki doğrunun kesişim 2 x noktasını bulalım. x 2y 3 0 ve y 2x in çözüm kümesini bulacağız. 3 6 x 2 y 3 0 5x 3 x ve y 2x tir. 5 5 3 6 , noktasıdır. 5 5 3 6 A( 1, 2) noktasının , noktasına göre simetriğini 5 5 bulabiliriz. 3 6 11 2 2 1, 2 2 , noktasıdır. 5 5 5 5 Doğrunun Noktaya Göre Simetriği (Yani (x, y) noktasının A(p, k) noktasına göre simetriğini alıp, doğru denkleminde yerine yazıyoruz.) ax by c 0 doğrusunun A(p, k) noktasına göre simetriği a.(2p x) b(2k y) c 0 doğrusudur. Örnek: 2x y 1 0 doğrusunun A(2, 3) noktasınına göre simetriği olan doğruyu bulalım. Aradığımız doğrunun üstündeki noktalar (x, y) olsun. (x, y) nin (2, 3) e göre simetriği (4 x, 6 y) dir. Bu noktalar 2x y 1 0 d oğrusuna aittir. Yerine yazalım. 2(4 x) (6 y) 1 0 8 2x 6 y 1 0 2x y 3 0 ( ile çarpalım.) 2x y 3 0 buluruz. Not: Yani (x, y) yazılır. ax by c 0 doğrusunun x eksenine göre simetriği ax by c 0 y eksenine göre simetriği ax by c 0 Yani ( x, y) yazılır. orijine göre simetriği ax by c 0 Yani ( x, y) yazılır. Yani (y, x) yazılır. y x doğrusuna göre simetriği bx ay c 0 y x e göre s Yani ( y, x) yazılır. imetriği bx ay c 0 doğrusudur. Bir Doğrunun Kendisine Paralel Bir Doğruya Göre Simetriği (Fen Lisesi) 1 2 1 2 ax by c 0 doğrusunun ax by k 0 doğrusuna göre simetrği ax by c 0 şeklindedir. c c k dir. 2 Örnek: www.matematikkolay.net 2x y 5 0 doğrusunun 2x y 3 0 doğrusuna göre simetriği 2x y c 0 şeklindedir. Sadece sabit kısım ile ilgileceğiz. 5 ten 3 e 2 azalmış. Bir daha 2 azalacak. 1 olur. O halde bu doğru 2x y 1 0 doğrusudur. Not: (Fen Lisesi) Yani (2p x, y) yazılır. ax by c 0 doğrusunun x p doğrusuna göre simetriği a(2p x) by c 0 y k doğrusuna göre simetriği Yani (x, 2k y) yazılır. ax b(2k y) c 0 doğrusudur. Örnek: 3x y 2 0 doğrusunun x 2 doğrusuna göre simetriği 3(4 x) y 2 0 12 3x y 2 0 3x y 10 0 doğrusudur. DÖNME A(x, y) noktası orijin etrafında pozitif yönde açısı kadar döndürüldüğünde Apsis xcos ysin Ordinat xsin ycos olur. Bu döndürme işlemi R (P) şeklinde ifade edilir. Örnek: P(2 3, 2) noktası orijin etrafında pozitif yönde 60 döndürülürse R (P) (xcos ysin , xsin ycos ) (2 3.cos60 2.sin60 , 2 3.sin60 2.cos60 ) 1 3 3 1 2 3 2 , 2 3 2 2 2 2 2 ( 3 3, 3 1) (0, 4) noktası elde edil ir. Not: Saat yönünde döndürme negatif yönde döndürmedir. Not: (a, b) noktasının 90 nin tek katlarındaki dönmelerinde her zaman a ve b nin yeri değişir. Hangi bölgeye gidiyorsa, o bölgenin işaretini alır. 90 lik pozitif dönme sonucu ( b, a) 270 lik pozitif dönm e sonucu (b, a) olur. Orijine göre simetri ile orijin etrafında 180 dönme￾si aynı şeydir. 180 lik pozitif dönme sonucu ( a, b) olur. Örnek: pozitif 90 dönerse 2 ile 5 in yeri değişir. A noktasını 2.bölgeden 3.bölgeye taşır. A( 2, 5) A'( 5, 2) olur. www.matematikkolay.net Örnek: pozitif 270 dönerse 5 ile 3 ün yeri değişir. B noktasını 3.bölgeden 2.bölgeye taşır. B( 3, 5) B'( 5, 3) olur. Örnek: 180 dönerse Sadece işaretler tersine döner. C( 2, 5) C'(2, 5) olur. Not: 270 pozitif dönme ile 90 negatif dönme a ynıdır. Not: Açının pozitif ya da negatif olduğu belirtilmemişse açı pozitif kabul edilir. Dönüşümlerin Bileşkesi Genellikle T : Öteleme fonksiyonu S : Simetri Fonksiyonu R: Dönme Fonksiyonu olarak ifade edilir. Örnek: 180 (2, 5) (1, 1) (1, 1) x ekseninde 1 y ekseninde 1 (2, 5) R S T (3, 1) bileşke fonksiyonunun sonucu olan noktayı bulalım. T (3, 1) ile başlayalım. (3, 1) (4, 0) olur. Şimdi S (4, 0) ı bula (2, 5) 180 180 dönme sonucu lım. (4, 0) noktasının (2, 5) noktasına göre simetriğini bulacağız. S (4, 0) (2.2 4, 2.5 0) (0, 10) olur. En son R (0, 10) yi bulalım. (0, 10) (0, 10) olur. Not: İki dönmenin birleşimi, yeni bir dönmedir. R R R dır. Örnek: 90 dönme sonucu 1 ve 3 ün yeri değişir. 1.bö A(1, 3) noktası orijin etrafında ilk önce negatif 25 , sonra pozitif 115 döndürülüyor. Elde edilen noktayı bulalım. Aslında 25 115 90 döndürülmüştür. (1, 3) lgeden 2.bölgeye geçer. ( 3, 1) olur. Dönme Simetrisi www.matematikkolay.net Bir şekil tam tur dönmeden önce yine aynı görüntüyü verebiliyorsa dönme simetrisine sahiptir. Bunun için döndürülmesi gereken en küçük açıya denir. n kenarlı bir düzgün çokgenin n ta dönme simetrisi açısı ne dönme simetri- 360 si vardır. Dönme simetrisi açısı da dir. n Örnek: 360 Düzgün altıgenin dönme simetrisi açısı 60 dir. 6 Yani en az 60 döndürülürse yine aynı görüntü elde edilir.