Bu bölümde Türev Kavramı ve Temel Türev Kuralları ile ilgili 25 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
10.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
TÜREV KAVRAMI VE TEMEL TÜREV KURALLARI www.matematikkolay.net 1) 2 f(x) x x 5 fonksiyonu ile ilgili olarak, [2, 4] aralığındaki ortalama değişim oranı 5 tir. x 3 teki anlık değişim oranı 2 dir. f(x) fonksiyonunu, x 1 ve x 4 noktalarından kesen doğrunun eği I. II. III. x 5 x 1 mi 6 dır. f(x) f(5) x 5 noktasındaki teğetin eğimi lim x 5 limiti ile hesaplanır ve sonuç 9 çıkar. f(x) f( 1) lim 1 dir. x 1 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) II ve V B) I, III, V C) I ve III IV. V. D) I, III ve IV E) I ve IV ÇÖZÜM: Sırayla öncülleri inceleyelim. [a, b] aralığındaki ortalama değişim oranı (hızı) f(b) f(a) y’deki değişim y formülü ile bulunur. b a x’teki değişim x f(4) f(2) (16 4 5) (4 2 5) 17 7 5 4 2 4 2 2 I. Not : 0 0 x x0 0 0 tir. I.öncül doğru. Bir fonksiyonun x daki anlık değişim oranı (hızı) f(x) f(x ) lim formülü ile bulunur. x x x x paydası sayesinde x’teki değişim sıfıra yaklaş- tırılır ve a II. Not : 2 x 3 x 3 ( 3).2 2 2 x 3 x 3 x 3 nlık değişim oranı bulunmuş olunur. f(x) f(3) x x 5 9 3 5 lim lim x 3 x 3 x x 5 11 x x 6 lim lim x 3 x 3 (x 3) lim (x 2) x 3 x 3 lim (x 2) 3 2 5 tir. II.öncül yanlıştır. III. x 1 için f(1) 1 1 5 5 tir. (1, 5) noktası x 4 için f(4) 16 4 5 17 dir. (4, 17) noktası Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi 17 5 12 4 tür. 4 1 3 III. öncül yanlıştır. Kesen doğrunun eğimi, ort Not : alama değişim hızı ile aynıdır. IV. www.matematikkolay.net x 5 noktasındaki teğetin eğimini bulmak için, çok küçük bir aralıkta eğim hesaplamamız gerekir. 5’in yakınında bir x noktası olduğunu düşünelim. x ile 5 arasındaki mesafenin 0’a yaklaştığı yerde eğimi nas y’ler arası mesafe 2 2 x 5 x 5 x’ler arası mesade 2 2 x 5 x 5 x 5 ıl hesaplarız bakalım. f(x) f(5) x x 5 (5 5 5) lim lim x 5 x 5 x x 5 25 x x 20 (x 5) lim lim lim x 5 x 5 (x 4) x 5 x 5 2 x 1 x 1 lim (x 4) 5 4 9 buluruz. IV. öncül doğrudur. Teğetin eğimi ile anlık değişim oranı aynıdır. Daha sonra biz buna türev diyeceğiz. f(x) f( 1) x x 5 (1 ( 1) lim 1 lim x 1 Not : V. 2 2 x 1 x 1 x 1 5) x 1 x x 5 7 x x 2 (x 2) (x 1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 1 2 3 buluruz. V. öncül yanlıştır. Cevap: E 2) x 3 x 2 h 0 h 0 x 0 f(x) f(3) lim f'(3) tür. x 3 f( 2) f(x) lim f'( 2) dir. x 2 f(1 h) f(1) lim f'( 1) dir. h f(3 h) f(3) lim f'( 3) tür. h f(0) f(x) f'(0) lim tür. 3x 3 Yukarıda verilen eşitl I. II. III. IV. V. iklerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 0 0 0 0 x x0 0 Bir noktadaki (x ) türevi bulmak için, x ile x arasındaki mesafe 0’a düşürülür ve anlık değişim oranı hesaplanır. Buna türev denir. f(x) f(x ) f'(x ) lim hesabı bize türevi verir. x x Türevi f’ 0 0 0 0 x x h 0 0 0 dy (x), , y’ şekillerinde ifade edebiliriz. dx Ayrıca x ile x arasındaki mesafeye h dersek, f(x) f(x ) f(x h) f(x ) lim ifadesini lim olarak x x h yazabiliriz. www.matematikkolay.net f(x) ile f(3) ün farkı alınıyor x 3 x ile 3 arasındaki mesafe 0’a indiriliyor. f(x) ile f(-2) arasındaki fark, ters alınıyor. Bu sebeple x 2 f(x) f(3) lim f'(3) tür. Doğrudur. x 3 f( 2) f(x) lim I. II. gelecek. x ile 2 arasındaki mesafe 0’a indiriliyor. 0 f'( 2) olmalıydı. II. öncül yanlış. x 2 h’li türev formülündeki mantık şu şekildedir : x konumundan h birim yukarı çıktığımızı düşünelim. f( III. 0 0 0 f(1 h h 0 x h) görüntüsü ile f(x ) görüntüsü arasındaki fark, bize y’deki değişimi verir. h ise x’ler arsındaki mesafedir. İkisinin oranında h’yi 0 a götürürsek, x noktasında türev almış oluruz. f(1 h) lim ) daki görüntüye bakılıyor. aradaki mesafe h diye tanımlanmış ve 0’a indiriliyor. h 0 f(1) f'(1) olmalıydı. III. öncül yanlış. h f(3 h) f(3) lim h f(3 h) yazılmış. f(3+h) yazılsaydı klasik formüle uyg IV. t 0 t 0 x 0 un olacaktı. Biz şöyle yapalım. t= h diyelim. f(3 t) f(3) lim olur. Şimdi yi dışarı alalım. t f(3 t) f(3) lim olur. Bu da f'(3) demektir. t IV. öncül de yanlıştır. f(0) f(x) 1 lim li 3x 3 V. x 0 x 0 x 0 h 0 f(0) f(x) 1 f(x) f(0) m lim x 3 x 1 f(0 x) f(0) 1 f(0 h) f(0) 1 lim lim f'(0) dır. 3 x 3 h 3 V. öncül doğrudur. Cevap : B 3) 3 h 0 3 3 h 0 3 h 0 Fehmi, f(x) x fonksiyonun türevini limitle ortaya çıkarmak istemiştir. Sırasıyla, f(x h) f(x) lim h (x h) x lim h x lim I. II. III. 2 2 3 3 3x h 3xh h x h 0 h h lim IV. 2 2 (3x 3xh h ) h 2 2 h 0 2 2 2 2 lim (3x 3xh h ) 3x 3x 0 3x 3x işlemlerini yapmıştır. Buna göre, Fehmi ilk defa hangi adımda hata yapmıştır ve doğru sonuç hangisidir? İlk Hata Doğru Sonuç A) III. adım 3x B) II. adım V. VI. VII. 2 2 2 2 4h C) V. adım 4h D) VI. adım 3x E) VII. adım 2x ÇÖZÜM: 2 2 2 Fehmi, h’li formüle doğru başlamıştır. Ancak, VI. adımda 3xh ifadesinde h yerine 0 koymayı unutmuştur. 3x 3x.0 0 şeklinde olmalıydı. Burdan sonra da 3x sonucuna ulaşacaktı. Cevap : D 4) 2 f(x y) f(x) x y 2xy eşitliğine göre, f'(2) kaçtır? A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 y 0 y 0 f(x h) f(x) lim format h 0 h f(x y) f(x) x y 2xy f(x)’i sola alalım. f(x y) f(x) x y 2xy her tarafı y’ye bölelim. f(x y) f(x) x 2x olur. lim limitini alalım. y f(x y) f(x) lim y 2 y 0 ı ile aynıdır. 2 2 lim x 2x f'(x) x 2x olur. Buna göre, f'(2) 2 2.2 8 buluruz. Cevap : E 5) 5 4 3 4 5 1 2 3 3 f(x) x ise f'(x) 5x tür. f(x) 4x ise f'( 2) 64 tür. f(x) 8 ise f'(8) 1 dir. 3 12 f(x) ise f'(x) tir. x x f(x) x ise f'(x) x tür. Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğr I. II. III. IV. V. udur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: n n 1 n k ve n birer gerçel sayı olmak üzere, x in türevi n.x dir. Yani, üs başa çarpım olarak gelir. Mevcut üs de bir azaltılır. f(x) k.x ise f'(x) k.n. Not : n 1 5 4 3 2 2 2 x dir. x in türevi 5x tür, doğru. 4x ün türevi 4.3.x 12x dir. x yerine 2 yazarsak, 12.( 2) 12.4 48 buluruz. II. öncül yanlış. Sabit fonksiyonun türevi 0 dır. Ç I. II. III. Not : 4 4 5 5 ünkü bir değişim yoktur. Buna göre, f(x) 8 ise f'(x) 0 olur. Yani, türevi her yerde 0 dır. III. öncül de yanlış. 3 f(x) 3x olarak yazabiliriz. x 12 Türev alınca 3.( 4).x olur. Yani tir, doğru. x IV. 1 1 2 1 3 3 3 1 1 f(x) x ise türevi x x tür. V. öncül 3 3 yanlış. Sadece 2 tanesi doğrudur. Cevap: B V. 6) 4 x 3 a R olmak üzere f(x) a.x fonksiyonu veriliyor. f(3) f(x) lim 9 olduğuna göre, a kaçtır? 3x 9 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 4 3 2 6 12 ÇÖZÜM: x 3 x 3 x 3 4 3 3 f(3) f(x) (f(x) f(3)) 1 f(x) f(3) lim lim lim 3x 9 3(x 3) 3 x 3 1 f'(3) tür. 3 1 f'(3) 9 ise, f'(3) 27 dir. 3 f(x) ax idi. f'(x) 4.a.x tür. f'(3) 4.a.3 27 4.a. 27 1 a tür. Cevap: A 4 www.matematikkolay.net 7) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 dy y x. x denklemine göre, aşağıdakilerden handx gisidir? 1 2 5. x A) B) x C) D) 3. x E) x 3. x 3 ÇÖZÜM: 2 5 3 2 3 3 5 5 2 3 2 1 3 3 3 İlk önce üslü ifadeye çevirip, sonra türev alabiliriz. x. x x.x x tür. dy 5 5 5. x y x ise x x dir. dx 3 3 3 Cevap : E Çarpım durumunda ayrı ayrı türev alıp, çarpımlarını direkt yazamayız Not : . 8) 1 x 2 2 1 f(x) fonksiyonu ile ilgili olarak, x dy 4 tür. dx dy 1 dir. dt t 1 f'(4).f(4) tür. 64 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız II I. II. III. D) I ve III E) I, II ve III ÇÖZÜM: 1 1 2 2 2 1 f(x) x olarak yazabiliriz. x dy ile f'(x) aynı şeydir. Yani, x e göre türev alacağız. dx 1 x in türevi ( 1).x x dir. x 1 öncülde x noktasındaki türevi isteniyor. 2 1 Yerine yazalım. 1 2 I. 2 1 4 buluruz. Doğru. 1 4 dy t ye göre türev almamızı istiyor. dt Ancak, f(x) fonksiyonunun değişkeni x tir. Yani t yi değiştirmemiz, fonksiyonda bir değişikliğe neden olmaz. Dolayısıyla t açısından II. 2 f(x) sabit bir fonksiyon gibidir. t ye göre de türevi 0 olacaktır. dy 0 dır. II. öncül yanlıştır. dt 1 1 f'(4) dır. 4 16 1 f(4) tür. 4 1 1 1 İkisinin çarpımı tür. III. öncül de yan- 16 4 64 lıştır. III. Cevap: A 9) 4 2 f(x) x 3x 5x 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f'(2) kaçtır? A) 12 B) 18 C) 25 D) 32 E) 36 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 4 2 f(x) ve g(x), türevlenebilir fonksiyonlar olsun. f(x) g(x) ‘ f'(x) g'(x) ve f(x) g(x) ‘ f'(x) g'(x) tir. Yani, toplama ya da çıkarmada ayrı ayrı türev alabiliriz. Buna göre, f(x) x 3x 5x 2 Not : 3 3 ise f'(x) 4x 6x 5 tir. f'(2) 4.2 6.2 5 32 12 5 25 buluruz. Cevap: C 10) 3 2 2 a R olmak üzere, a f(x) x 2 x g(x) 5x ax f(x) fonksiyonları veriliyor. g'(2) 5 olduğuna göre, f'( 2) kaçtır? A) 5 B) 3 C) 8 D) 12 E) 36 ÇÖZÜM: 2 5 verilmiş 3 2 g(x) 5x ax f(x) Türev alarak başlayalım. g'(x) 10x a f'(x) olur. x 2 yazalım. g'(2) 10.2 a f'(2) 5 20 a f'(2) a 15 f'(2) dir. a f(x) x 2 eşitliğinde de türev alalım. x f'(x 2 2 2 3 2 3 3 a 15 ) 3x ax ‘ f'(x) 3x ( 2ax ) f'(x) 3x 2ax olur. x 2 yazalım. 2a f'(2) 3.4 2 a a 15 12 4 3 a 27 4 9 2 3 36 2 3 2 3 a 36 dır. f'(x) 3x 2 a x 72 3x tir. x 72 72 f'( 2) 3.( 2) 12 12 9 3 tür. ( 2) 8 Cevap: B
