Türevin Fiziksel Yorumu
Örnek:
Çözüm:
Türevin Geometrik Yorumu
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Türevlenebilir Fonksiyonlarda Artanlık – Azalanlık Durumları
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Ekstremum Noktalar
Örnek:
Not:
Örnek:
Not:
Örnek:
Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum
Örnek:
Not:
Örnek:
Türev ve Ekstremum Nokta
Örnek:
Not:
Örnek:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Polinom Fonksiyonların Grafiğini Çizerken Türevi Kullanma
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Maksimum Minimum Problemleri
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
1.sayfaya geçmek için Tıklayın.
(Türevin Tanımı, Kuralları ve Süreklilikle İlişkisi)
| Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla |
| Türev Konu Notlarını pdf indir |
| Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.) |
Türevin Fiziksel Yorumu Yol fonksiyonunun 1.türevi bize anlık hızı verir. v(t) s'(t) dir. Bir daha türev alırsak, anlık ivmeyi buluruz. a(t) v'(t) s”(t) dir. Örnek: 3 2 Bir aracın t saniyede aldığı yol metre cinsinden s(t) 2t t eşitliği ile veriliyor. Buna göre, Aracın 3.saniyedeki hızını Aracın 3.saniyedeki ivmesini Aracın ilk 3 saniyedeki ortalama hızını bulunuz. Çözüm: 2 2 Anlık hız s'(t) 6t 2t dir. t 3 için s'(t) 6.9 6 54 6 48 m / sn dir. O halde, 3.saniyedeki hızı 48 m / sn dir. İvme s”(t) 12t 2 dir. t 3 için s”(t) 36 2 34 m / sn dir. O halde, 3.saniyedeki ivmesi 34 m / s 2 n dir. Toplam Yol Ortalama Hız Toplam Zaman s(3) s(0) İlk 3 saniyedeki ortalama hız 3 0 (2.27 9) 0 45 15 m / sn dir. 3 3 Not : Türevin Geometrik Yorumu Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, aynı noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir. Örnek: 2 y x x eğrisinin x 1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. Çözüm: y’ 2x 1 dir. x 1 için y’ 2 1 3 tür. (Teğetin eğimi) Örnek: 3 y x x eğrisinin x 2 noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. Çözüm: www.matematikkolay.net 2 y’ 3x 1 dir. x 2 için y’ 12 1 11 dir. (Teğetin eğimi) Teğet noktasını bulalım. x 2 için y 8 2 6 dır. (2, 6) noktasından geçen ve eğimi 11 olan doğru y 6 11(x 2) y 6 11x 22 y 11x 16 dır. (Teğet doğrusu) Artan Ve Azalan Fonksiyonlar 1 2 f(x), aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. x ve x aralığında birer nokta olmak üzere, [a, b] (a, b) 1 2 1 2 Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında [a, b] f(x) artandır. 1 2 1 2 Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında [a, b] f(x) azalandır. 1 2 1 2 Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında [a, b] f(x) sabittir. Türevlenebilir Fonksiyonlarda Artanlık-Azalanlık Durumları f(x) aralığında tanımlı, türevli bir fonksiyon olsun. Her x (a, b) için f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığı [a, b] [a, b] f(x) artandır. [a, b] f(x) azalandır. [a, b] nda f(x) sabittir. Örnek: 3 2 f : R R olmak üzere, f(x) 2x 21x 60x 8 fonksiyonunun azalan, artan olduğu en geniş aralıkları bulunuz. Çözüm: 2 2 2 ( 2)( 5) f'(x) 6x 42x 60 tır. İşaret tablosu oluşturalım. 6x 42x 60 0 6’ya bölelim. x 7x 10 0 (x 2)(x 5) 0 x 2 ve x 5 te işaret değişecek. Başkatsayısı pozitif sağdan ile başlayacağız. Tabloy u oluşturalım. f(x) in türevi (2, 5) aralığında negatif olduğu için f(x) fonksiyonu [2, 5] aralığında azalandır. ( , 2] ve [5, ) aralıklarında ise f(x) artandır. Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağı daki gibidir: www.matematikkolay.net Örnek: 3 2 f(x) x 6x ax 8 fonksiyonu daima ar tan ise a nın alabileceği değer aralığını bulunuz. Çözüm: 2 Daima ar tan olabilmesi için, türevi sürekli pozitif olmalıdır. (Noktalar sınırlı sayıda ise türev ara nok – talarda 0 da olabilir.) f'(x) 3x 12x a Bu ifadenin hiçbir şekilde negatif olmaması lazım. Başkats ayısı pozitif. O halde, bu ifadenin iki farklı kökü olmamalıdır. Yani 0 olmalıdır. 144 4.3.a 0 144 12.a 0 144 12.a 12 a a nın değer aralığı [12, ) olmalıdır. a nın çeşitli değerleri için, aşağıda bir k aç örnek grafik çizilmiştir. Merak ediyorsanız, inceleyebilir – siniz. Not: Tek bir noktada türevin 0 olması, ar tanlık ya da azalanlığı bozmaz. Örnek: 3 f(x) (x 1) fonksiyonunun artanlık azalanlık durumunu inceleyiniz. Çözüm: 2 f'(x) 3(x 1) dir. x 1 kökü çift katlı köktür. İşaret tablosunu çizelim. f(x) daima ar tandır. ( , ) Ekstremum Noktalar f(x), x a noktasında, hemen yanındaki noktalara göre daha büyük değer alıyorsa bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır. f(x), x b noktasında hemen yanındaki noktalara göre daha küçük değer alıyorsa bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına genel olarak denir. ekstremum noktalar Örnek: www.matematikkolay.net Not: Tanım aralığı kapalı şekilde belirtiliyorsa, sınır noktalar, birer yerel maksimum veya yerel minimum noktasıdır. Açık aralık olursa, birer ekstremum nokta olamaz. Örnek: Yukarıda [ 1, 4] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun 3 tane ekstremum noktası vardır. (2 tane yerel maksimum, 1 tane yerel minimum) Not: Ektremum noktalar için türevin varlığı, olmazsa olmaz bir şart değildir. Örnek: Mutlak Maksimum Ve Mutlak Minimum Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta, en büyük değerini aldığı noktaya , burdaki değerine ise denir. Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta, en küçük değe mutlak maksimum noktası mutlak maksimum değeri rini aldığı noktaya , burdaki değerine ise denir. Doğal olarak, bu noktalar (eğer varsa), ekstremum noktalardan olacaktır (Sınır değerlerin de birer ekstremum mutlak minimum noktası mutlak minimum değeri nokta olduğunu unutmayalım). Örnek: Not: Fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum noktalarını kesin olarak belirleyemiyorsak, fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum noktası yoktur. Bu sebeple tanım aralığı, açık aralık şekilde veya sonsuz olarak belirtilen durumlarda mutlak maksimum veya mutlak minimum noktaları olmayabilir. Örnek: www.matematikkolay.net 1 Fonksiyonun en küçük değeri 1, noktasında ger- 2 1 çekleşiyor. Bu sebeple mutlak minimum değeri dir. 2 Ancak, mutlak maksimumu net belirleyemiyoruz. Fonksiyon, en büyük değerini 10’a yakın bir yerl erde alıyor ama buradaki nokta net değil. Bu sebeple mutlak maksimum değeri yoktur. Türev ve Ekstremum Nokta f(x) fonksiyonun ekstremum noktada türevi varsa, bu noktada türevi 0 dır. Örnek: 2 f(x) x 2x fonksiyonunun x 1 de ekstremum nok – tası vardır. Türevine bakalım. f'(x) 2x 2 dir. f'(1) 2 2 0 dır. Ekstremum noktada türev varsa, 0 dır. Not: Türevin 0 olduğu tek katlı köklerde yerel ekstremum nokta vardır (Çift katlı köklerde değil). Örnek: 2 3 2 f(x) (x 1) ise f'(x) 2(x 1) 0 x 1 de ekstremum nokta vardır. h(x) (x 1) ise h'(x) 3(x 1) 0 x 1 de ekstremum nokta yoktur. Not: Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği yerde yerel maksimum noktası Fonksiyonun azalanlıktan artanlığa geçtiği yerde yerel minimum noktası vardır. Örnek: 2 3 9x Reel sayılarda tanımlı f(x) x 12x 19 fonksi- 2 yonunun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarını bulunuz. Çözüm: 2 2 Sorudaki fonksiyon, polinom fonksiyon olduğundan tüm reel sayılarda türevli bir fonksiyondur. Bu sebeple türevin 0 olduğu noktalara bakabiliriz. f'(x) 3x 9x 12 dir. 3x 9x 12 0 yapan x değerlerini bulal 2 4.Oca ım. x 3x 4 0 (x 4)(x 1) 0 dır. x 4 ve x 1 köklerdir (Tek katlı kökler) Hangisinin yerel maksimum, hangisinin yerel minimum nokta olduğuna karar vermek için, işaret tablosuna bakalım. www.matematikkolay.net Ar tanlık, azalanlık değişim noktalarına bakarak, x 1 de yerel maksimum, x 4 te yerel minimum nokta olacağını söyleyebiliriz. 9 x 1 için f(x) 1 12 19 2 51 dir. 2 51 1 2 noktası (yerel maksimum) x 4 için f(x) 64 9.8 48 19 37 (4, 37) noktası (yerel minimum) Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıda bakabilirsiniz: Örnek: 4 x 3 2 f(x) x 2x 12x fonksiyonunun en küçük 4 değeri kaçtır? Çözüm: 3 2 2 2 Türevinin 0 olduğu noktalara bakalım. x 3x 4x 12 0 x (x 3) 4(x 3) 0 (x 4)(x 3) 0 (x 2)(x 2)(x 3) 0 İşaret tablosunu oluşturalım. Fonksiyon, da ve da yüksek değerlerde. Dolayısıyla minimum değerinin, yerel minimum noktalarında olmasını bekleyebiliriz. x 2 için f(x) 4 8 8 24 18 dir. 81 45 x 3 için f(x) 27 18 36 tür. 4 4 O halde, en küçük değeri 18 dir. Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : Polinom Fonksiyonlarin Grafiğini Çizerken Türevi Kullanma www.matematikkolay.net Fonkisyonların grafikleri çizilirken, Tanım aralığına dikkat edilmelidir. Polinom fonk – siyonlarda, aksi belirtilmedikçe tanım kümesi tüm reel sayılardır. Eksenleri kesen noktalar belir 1. 2. lenir. Hem x 0 için y değeri, hem de y 0 ı sağlayan x değerleri bulu- nur. Tek katlı kökler x eksenini keserek diğer tarafa geçer. Ancak, çift katlı kökler x eks Not : enine teğet olur ve karşı tarafa geçmezler. Türev yardımıyla, işaret tablosu oluşturulur. Buna bakılarak ar tanlık, azalanlık durumları ve ekstremum noktaları belirlenir. 3. Örnek: 3 Reel sayılarda tanımlı f(x) 3x x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: 3 2 3 Eksenleri kesen noktalarla başlayalım. 3x x 0 x(3 x ) 0 x( 3 x)( 3 x) 0 x eksenini x 3, 0 ve 3 te keser. Hepsi tek katlı köktür. x 0 için f(x) 3.0 0 0 0 0 dır. O halde, f(x) orjinden geçecektir. Bir de 2 2 3 3 türevini inceleyelim. f'(x) 3 3x dir. 0 yapan değerleri bulalım. 3(1 x ) 0 x 1 ve 1 dir. f 1 3.( 1) ( 1) 3 1 2 dir. f 1 3.(1) (1) 3 1 2 dir. Şimdi işaret tablosu yapalım. En büyük dereceli terim ne gatif olduğu için sağdan ile başlayacağız. Şimdi grafiği çizebiliriz. x dan 1 e doğru sürekli azalarak gelecek. Bu arada x 3 te x eksenini kesecektir. ( 1, 2) noktası yerel minimum olacaktır. x 1 den 1 e doğru sürekli artarak gidecek. Bu ara da orjinden geçecektir. (1, 2) noktası yerel maksimum olacaktır. x 1 ten sonra ise sürekli azalacaktır. Bu azalma sırasında da x eksenini 3 te kesecektir. Not: Reel sayılarda tanımlı ya da fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyon olurlar. Reel sayılarda tanımlı bir fonksiyonun daima artan ya da daima azalan olması için bir fonksiyonun eks daima artan daima azalan tremum noktası olmamalıdır. www.matematikkolay.net Örnek: 3 2 f :R R ve a bir reel sayı olmak üzere, f(x) x 6x ax 9 fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, a değerinin alabileceği değer aralığını bulunuz. Çözüm: 2 f'(x) için 0 olmalıdır. (Ekstremum nokta olmamalı) f'(x) 3x 12x a dır. 0 olmalı 144 4.3.a 0 144 12a 0 144 12a 12 a [12, ) aralığında olmalıdır. Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıdan bakabilirsiniz : Maksimum Minimum Problemleri Maksimum-minimum problemlerinde ilk önce istenen ifade, bir değişkene göre fonksiyon olarak yazılır. Daha sonra türevi 0’a eşitlenerek maksimum ya da minimum değeri verecek değişkenin kaç olduğu bulunur. Örnek: 2x y 6 olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır? Çözüm: 2 2x y 6 verilmiş. y 6 2x tir. O halde, x.y x.(6 2x) 6x 2x olarak yazabiliriz. Türevini 0’a eşitleyelim. 3 6 4x 0 x dir. 2 2 3 x için x.y çarpımı en büyük değerini alacktır. 2 3 9 9 9 6x 2x 6 2 9 buluruz. 2 4 2 2 Örnek: www.matematikkolay.net 2 Şekildeki ABCD dikdörtgeninin bir kenarı duvar tarafından, diğer 3 kenarı ise 36 cm uzunluğunda bir ip ile oluşturulmuştur. Buna göre, ABCD dikdört – geninin alanı maksimum kaç cm olur? Çözüm: 2 2 AB x dersek, DC x olur. BC 36 2x kalır. A(ABCD) x.(36 2x) 36x 2x cm dir. Türevini 0’a eşitleyelim. 36 4x 0 x 9 cm dir. 2 2 x 9 için en büyük değerini alacktır. 36x 2x 36.9 2.81 324 162 162 cm buluruz. Örnek: 2 Yukarıdaki şekilde, d doğrusu ve eksenler arasında bir dikdörtgen oluşturulacaktır. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç br olur? Çözüm: 3 İlk önce doğrunun denklemini yazalım. x y 1 3 9 3x y 1 9 3x y 9 dur. a pozitif bir reel sayı olmak üzere, P’nin apsisi a olsun. Ordinatını bulalım. 3( a) y 9 3a y 9 y 9 3a dır. Dikdörtgenin alanı a(9 3 2 2 2 a) 9a 3a dir. Türevini 0’a eşitleyelim. 3 9 6a 0 a dir. 2 3 a değerini yazalım. 2 27 9 27 27 27 9a 3a 3 br buluruz. 2 4 2 4 4 Örnek: www.matematikkolay.net 3 Kenarları 8 er cm olan bir karenin dört köşesinden eş kare parçalar kesilerek üstü açık kare dik prizma şeklinde bir kutu yapılıyor. Buna göre, kutunun hacmi en fazla kaç cm olur? Çözüm: 2 2 Eş karelerin her bir kenarına x cm dersek , kutunun ayrıtları x, (8 2x) ve (8 2x) şeklinde olur. Hacim x(8 2x) dir. Maksimum değer için türevini 0 a eşitleyelim. (8 2x) x.2.(8 2x).( 2) 0 ( 2 8 2x) 4x.(8 2x) 0 (8 2x)(8 2x 4x) 0 (8 2x)(8 6x) 0 4 x 4 ve x tür. 3 2 2 2 3 4 x olursa hacim maksimum olur. 3 4 4 4 8 Hacim 8 2 . 8 3 3 3 3 4 16 . 3 3 4 256 . 3 9 1024 cm buluruz. 27
