İntegralli fonksiyon soruları, İntegraldeki sabit değeri bulma, Türev denkleminden asıl fonksiyonu bulma

2 f(x) fonksiyonunun (1, 4) noktasındaki teğetinin eğimi 6 dır. f ”(x) 12x 4 olduğuna g öre, f( 1) kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 www.matematikkolay.net 2 2 3 f ”(x) 12x 4 f ”(x)dx (12x 4)dx f ‘(x) 4x 4x c (1,4) nokta : s Çözüm 3 3 3 3 4 2 4 2 4 2 ındaki eğim 6 ise f ‘(1) 6 dır. f ‘(x) 4x 4x c f ‘(1) 4.1 4.1 c 6 c 8 6 c 2 dir. f ‘(x) 4x 4x 2 dir. f ‘(x)dx (4x 4x 2)dx f(x) x 2x 2x d f(1) 4 f(1) 1 2.1 2.1 d 4 d 1 4 d 3 tür. f(x) x 2x 2x 3 f( 4 2 1) ( 1) 2( 1) 2( 1) 3 f( 1) 1 2 2 3 8 buluruz. 30
3 2 f : R R f ‘(x) 4x 3x 2x 5 ve f( 1) 4 olduğuna göre, integral sabitini bulunuz.  www.matematikkolay.net           4 3 2 4 3 2 f(x) x x x 5x c dir. İntegral aldık. f( 1) 4 ise; 1 1 1 5 1 c 4 olmalıdır. 1 1 1 : Çözüm 5 c 4 8 c 4 c 4 buluruz. 71
f(x) fonksiyonunun grafiğinin üzerindeki (1, 3) nok – tasındaki teğetinin eğimi 3 ve f ‘(x) 2x a olduğuna göre, f(2) kaçtır?   f ‘(1) 3 tür. Teğetin eğimi f ‘(x) 2x a denkleminde x 1 yazarsak; f ‘(1) 2 a 3 a 1 buluru : Çözüm       2 2 2 2 z. f ‘(x) 2x 1 ise; f(x) x x c dir. İntegral aldık. 1,3 noktası fonkisyonun bir noktası olduğundan; f(1) 3 olmalıdır. f(1) 1 1 c 3 c 1 buluruz. f(x) x x 1 ise f( 2) 2 2 1 4 2 1 2 1 3 buluruz. C evap: 3 73
f ”(x) 12x , f ‘( 1) 4 ve f(1) 3 ise f(2) ?   2 2 f ”(x) 12x ise f ‘(x) 6x c dir. f ‘( 1) 4 ise f ‘( 1) 6 1 c 4 olmalıdır. : Çözüm     2 3 3 3 6 c 4 c 2 dir. f ‘(x) 6x 2 ise; f(x) 2x 2x c dir. f(1) 3 ise 2. 1 2. 1 c 3 2 2 c 3 c 3 tür. f(x) 2x 2x 3 olur. Buna göre; f(2) 2.8 2.2 3 16 4 3 15 b uluruz. 78
  f(x) x.f ‘(x) dx 6x c eşitliği veriliyor. f(1) 5 olduğuna göre, f( 1) kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E ) 7   Sabit terim x.f(x) ‘in türevi 1.f(x) x.f ‘(x) tir. O halde; f(x) x.f ‘(x) dx x.f(x) d dir. (c : Çözüm 1 dir. 1 yazmadık Sorudaki c ile karışmasın diye) x.f(x) d 6x c ise xf(x) 6x c d x 1 olduğunda; 1.f(1) 6 c d 5 6 c d x 1 olduğunda; 1.f( 1) 6 c d f( 1) 7 f( 1) 7 buluruz. www.matematikkolay.net 98
www.matematikkolay.net 2 2 f(x) fonksiyonu için, d f(x) 2x 1 olup f(x)’in eğrisi x 1 noktasında dx x eksenine teğet ise f( 1) in değeri kaçtır? 1 1 5 7 10 A) B) C) D) E) 3 3 3 3 3           f ‘ 1 0 dır. x 1 de teğetin eğimi 0 olduğundan f 1 0 dır. x 1 için y 0 olduğu için x : f ” x 2 Çözüm               2 2 2 3 2 1 ise 1 basamak integral alalım. f ‘ x x x c dir. f ‘ 1 0 idi. 0 1 1 c c 2 dir. O halde; f ‘ x x x 2 dir. 1 basamak integral alalım. x x f x 2x d dir. f 1 0 idi. 3 2 1 1 0 2 d d 3 2     3 2 7 dır. 6 x x 7 f x 2x ise 3 2 6 1 1 7 10 f 1 2 buluruz. 3 2 6 3 141
Aşağıda, bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. f(0) 1 olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır? 3 5 4 1 1 A) B) C) D) E) 2 2 3 2 3 www.matematikkolay.net 2 1 2 Grafik; x , x 1 f ‘(x) 1 , x 1 İntegral alalım, x c , x 1 f(x) 2 x c , x :        Çözüm 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0 f(0) 1 ise 1 c c 1 dır. 2 Türev için fonksiyon sürekli olmalıdır. Bunun için x 1 noktasında parçalı fonksiyonlar aynı değeri vermelidir. x 1 3 f(1) c 1 2 2 2 3 3 f(1) x c 1 c c 2 2   2 2 1 2 Buna göre; 1 5 f(2) x c 2 buluruz. 2 2 www.matematikkolay.net 146
f fonksiyonunun birinci türevi 1 x 0 f ‘(x) x 1 0 x 1 2 x 1       biçiminde tanımlanıyor. 1 f(0) olduğuna göre, f(2) f( 1) toplamı kaçtır? 2 11 7 5 1 3 A) B) C) D) E) 2 2 2 2 2    1 2 2 Bölge bölge integral alalım. x C x 0 x f(x) x C 0 x 1 2 2 :    Çözüm 3 1 2 2 3 x C x 1 Sınır değerlerde fonksiyon eşit olmalıdır.(süreklilik) 1 1 1 f(0) ise C ve C dir. 2 2 2 x 1 1 1 f(1) x 1 2 dir. 2 2 2 2 f(1) 2 C 0 dır. Buna göre; f(2) 2x 2.2 4 f      1 1 ( 1) x dir. 2 2 1 7 Toplamları: f(2) f( 1) 4 buluruz. 2 2
2 2 2 dy 2y x y dx olduğuna göre, y f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) B) x c x c C) 2 2 2 1 1 D) x 2x c x x c 1 E) x x c   2 2 2 2 2 2 y’ 2y x y y’ y 2x 1 y’ 2x 1 iki tarafın da integralini alalım. y 1 x x y 1 x x c : y Çözüm 2 şeklinde yazabiliriz. 1 y buluruz. x x c www.matematikkolay.net 106
  2 a 0 olmak üzere, a 1 dx fonksiyonu veriliyor. x (a 1).x a 1 f 3 f olduğuna göre, a kaçtır 3 ? 1 1 A) 4 B) 2 C) 1 D) E) 2 4 2 a 1 a 1 dx dx x (a 1).x a (x a)(x 1) 1 1 dx ln|x a| ln|x 1| x a x 1 x a ln c dir. x 1 1 f(3) f( ) 3 : Çözüm 1 a 3 a ln c ln 3 c 3 1 1 1 3 1 a 3 a 3 3 1 1 1 3 3:00 AM 4 1 3a 3 4 3 3 a 1 3a 3 a 1 3a a 1 (a 0 idi.) 3 a 3a 1 4a 4a a 1 buluruz. www.matematikkolay.net 22
2 2x.f(x) f ‘(x) x .f ‘(x) f(2) 12 olduğuna göre, f(3) kaçtır? A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2xf(x) f ‘(x) x .f ‘(x) 2xf(x) f ‘(x)(x 1) f(x) x 1 f ‘(x) 2x (İ f ‘(x) 2x f(x) : x 1 Çözüm 2 2 ln(x 1) C 2 C C C C ntegral alalım) lnf(x) ln(x 1) C f(x) e (x 1).e dir. x 2 için f(2) (4 1).e 12 e 4 x 3 için f(3) (9 1).e 8.4 32 buluruz. 26
2 2 f ‘(x) 0, f(0) f ‘(0) ve f ”(x) f ‘(x) e olduğuna göre, f( 1) kaçtır? A) e B) e C) 0 D) e E) e  2 www.matematikkolay.net 2 f ”(x) f ‘(x) e iki tarafın da türevini alalım. f ”'(x) f ”(x) 0 f ”'(x) f ”(x) : f ”'( Çözüm x C x C 2 C c 2 2 x C c x) 1 iki tarafın da integralini alalım. f ”(x) lnf ”(x) x C f ”(x) e tekrar integral alalım. f ‘(x) e C x 0 için e C 0 C e dir. f ‘(x) e e tekrar inte x C c 3 C C 3 3 x C c C 2 x C x C c 2 c 2 x 2 2 2 2 2 gral alalım. f(x) e e x C x 0 için e C 0 C e f(x) e e x e olur. f ”(x) f ‘(x) e idi. e (e e ) e e e c 2 dir. f(x) e e x e dir. f( 1) e e e e buluruz . 27
www.matematikkolay.net x x e .f(x)dx e .cosx c olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun y eksenini kes – tiği nok tanın ordi natı kaçtır? A) 2e B) e C) 1 D) 1 E) 2 x x x x x e .f(x)dx e .cosx C iki tarafın türevi alalım. e .f(x) e .cosx e .sinx x 0 için : Çözüm 0 0 0 e .f(0) e .cos0 e .sin0 f(0) 1 buluruz. 29
2 f(sinx)cosxdx F(x) olduğuna göre, f(sin x).sinx.cos x.dx işleminin sonucunun F(x) türün den eşiti nedir? F(x) F(x) A) F(x) B) C) D) F(x) E) 2F(x) 4 2 2 f(sinx)cosxdx F(x) u sinx du cosxdx f(sinx).cosx.dx f(u)du F(x) ise; f(sin x). : si Çözüm 2 2 nx.cosx.dx u sin x du sinxcosxdx 1 F(x) f(sin x).sinx.cosx.dx f(u).du buluruz. 2 2 48
f(x).cosxdx f(x).sinx cosx c olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) sinx c B) 2 cosx c C) x c D) x c E) 2x c   f(x).cosxdx f(x).sinx cosx c Direkt iki tarafın türevini alarak çözebiliriz f(x).cosx : Çözüm f ‘(x)sinx f(x).cosx sinx f ‘(x)sinx sinx f ‘(x) sinx sinx f ‘(x) 1 İki tarafın da integralini alalım. f(x) x c buluruz. www.matematikkolay.net 64
f ‘(x) cosx sinx ve f 2 ise f ? 2 4   www.matematikkolay.net   f(x) f ‘(x) dx cosx sinx dx sinx cosx c f(x) sinx cosx c dir. x için : f(x) 2 ise 2 sin 2   Çözüm cos c 2 2 1 0 c 2 c 1 dir. O halde; f(x) sinx cosx 1 dir. Buna göre; 2 f sin cos 1 4 4 4 2     2 2 1 1 buluruz. 67
cosx c f( x)dx ise f(x) ?     cotx c f(x)dx cosx c f(x)dx İki tarafın da türevini alalım. sinx cosx ‘sinx sinx ‘ : cos Çözüm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x f(x) sin x sinx.sinx cosxcosx f(x sin x sin x cos x f(x) sin x sin x cos x f(x) (Not : sin x cos x 1 dir) sin x 1 f(x) buluruz. sin x www.matematikkolay.net 72
  x 2 f(x) 2 sinx 2cos x dx ise f ‘(0) ?   x 2 f ‘(x) x 2 0 2 f(x) 2 sinx 2cos x dx ise; f ‘(x) 2 sinx 2cos x tir. f ‘(0) 2 sin0 2 : cos Çözüm 0 1 0 2 1 buluruz. 75
www.matematikkolay.net x 3x 1 2 3 e .f(x)dx e c 1 olduğuna göre, f ‘ değeri kaçtır? 2 A) 3 B) 6 C) 6e D) 6e E) 6e    x 3x 1 ı ı x 3x 1 x e .f(x)dx e c Eşitliğin iki tarafının da türevini alalım. e .f(x)dx e : c e .     Çözüm 3x 1 3x 1 2x 1 x ı 2x 1 1 02.Oca ı 2 1 1 0 1 3e f(x) 3.e f(x) 3e dir. e f (x) 6e dir. 1 f 6e 6e 6e 6 bulunur. 2   83