Yatay Asimptot, Düşey Asimptot, Asimptotların Kesim Noktası

2 2 x x 6 f(x) x 6x 8 fonksiyonunun asimptotları ile x ekseni arasında kalan dörtgenin alanı k 2 aç br dir? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 www.matematikkolay.net 2 2 2 x x 2 : x x 6 f(x) x 6x 8 Yatay asimptot x x 6 lim f(x) lim 1 y 1 doğrusu x 6x 8 Düşey asim    Çözüm 2 ptotlar Paydayı 0 yapan x değerleridir. x 6x 8 0 (x 2)(x 4) 0 x 2 ve x 4 doğrularıdır.  Doğrular arasında kalan dikdörtgenin alanı 1×2=2 birimkaredir. 5
2 3x g(x) fonksiy onunun yatay asi mptotu n edir? x 2 www.matematikkolay.net x x 2 x 2 : Yatay asimptot 3x lim f(x) lim belirsizliği var. Türev alalım. x 2 3x lim x l 2      Çözüm x 3 im 0 buluruz. 2x Buna göre yatay asimptot : y 0 doğrusudur.  13
x 2 f(x) fonksiyonunun asimptotların kes im no kx 3 tasını bul u u n z. www.matematikkolay.net x x : x 2 f(x) x 3 Yatay asimptot x 2 lim f(x) lim 1 y 1 doğrusudur. x 3 Düşey asimpto t Payday    Çözüm ı 0 yapan x değeridir. x 3 0 x 3 doğrusudur. Bu iki doğrunun kesim noktasını (3,1) noktası buluruz.  17
www.matematikkolay.net 2 2 ax b f(x) x cx 16 eğrisinin asimptotları sadece bir noktada kesişmek – tedir. a c 10 oldu ğuna göre, a nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 12 B) 16 C) 24 D) 36 E) 42 Bir tane yatay asimptotu, bir tane de düşey asimptotu olmalıdır. Düşey asimptotun bir t : ane o Çözüm     2 2 8 18 8 lması için, Paydayı 0 yapan tek bir x değeri olmalıdır. Yani payda tam kare olmalıdır. x cx 16 Bu da ancak c 8 veya c 8 iken mümkündür. 0 ı kullanarak da c değerlerini bulabiliriz. a c 10  a 2 veya 18 dir. a’nın değerleri çarpımı 2.18 36 buluruz.  65
www.matematikkolay.net 2 2 3x 12 f(x) x x eğrisinin asimptotlarından biri eğriyi A noktasında kesiyor. Buna göre, A nokta sının orjine uzaklığı kaç birim – dir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 5 E) 3 2 x 2 2 3x 12 lim 3 (y 3 yatay asimptot) x x y 3 asimtotu ile f(x) eğrisini ortak çözelim. 3x 1 x : 2  Çözüm 2 2 3 3x x  2 12 3x 2 2 3x x 4 noktasında kesişirler. ( 4,3) noktasının orjine uzaklığı; ( 4) 3 5 br bulunur.  100
4x 3 f(x) fonksiyonunun grafiği ile bu fonksiyo – x 2 nun yatay asimptotu, (a, b) noktasında kesişi yor. Buna göre, a b toplamı kaçtır? 47 23 45 11 43 A) B) C) D) E) 8 4 8 2 8 www.matematikkolay.net x 4x 3 limf(x) 4 tür. y 4 (yatay asimptot) x 2 y 4 doğrusu ile kesişen x noktasını bula :   Çözüm lım. 4x 3 4 pay ve payda zıt işaretli olmalı ki x 2 bir x değeri bulunabilsin. 4x 3 4 4x 3 8 4x 8x 11 2 x 11 x 8 11 43 Buna göre, a b 4 buluruz. 8 8     108
4 2 2 f(x) x 6x ax b fonksiyonunun yatay asimptotu Ox eksenidir. a ve b birer gerçel sayı olduğ una göre, a b kaçtır? A) 6 B) 3 C) 3 D) 6 E) 9 www.matematikkolay.net       x 4 2 2 x 4 2 2 x x x O ekseni y 0 doğrusudur. lim x 6x ax b 0 olmalıdır. lim x 6x lim a : x b 0 lim       Çözüm             4 2 2 x 2 2 2 2 x x 2 2 2 x 2 x 6x lim ax b lim (x 3) 6x lim ax b (x 3) 6x lim 1 ax b a 1 ve b 3 olmalıdır. a.b 1.( 3) 3 buluruz.           109
2 2 3x 12 f(x) x x eğrisinin asimptotlarından biri eğriyi A noktasında kesiyor. Buna göre, A noktasının orjine uzaklığı kaç birim – dir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 2 x 2 Yatay asimptotu bulalım. 3x 12 lim 3 tür. y 3 asimptotu x x Bu eğri , 3 değ : erini başka   Çözüm 2 2 2 bir noktada veriyorsa bu noktayı bulalım. 3x 12 3 x x 3x 2 12 3x 2 2 3x 12 3x x 4 buluruz. Demek ki y 3 asimptotu bu eğriyi ( 4,3) noktasında kesiyor. Orjine uzaklığı ( 4) 3 5 tir. www.matematikkolay.net 115
: 5x 2 fonksiyonunun yatay ve düşey as imptot ları – x 6 nı bulu nuz.   x x x – x : Yatay asimptotlara bakalım. 5x 2 5x 2 lim lim 5 y 5 x 6 x 6 5x 2 5 lim lim x 6         Çözüm     x 2 5 tir. y 5 x 6 Düşey asimptotlara bakalım; 5x 2 x 6 ve x 6 asimptotlarıdır. x 6 Paydayı 0 yapan değerler   118
  3x 1 f : R 4 R f(x) fonksiyonu veriliyor. x 4 f fonksiyonunun simetri merkezini bulunuz.  3x 1 fonksiyonunun simetri merkezi asipmtotların x 4 kesişim noktasıdır. Düşey asimpto : t, payd Çözüm     x ayı 0 yapan x değeridir. x 4 0 x 4 tür. Yatay asimptot, x için limitidir. 3x 1 lim 3 tür. y 3 yatay asimptottur. x 4 Bu iki asimptot 4,3 noktasında kesişirler. Buna göre; Simetri merkezi 4,3     noktasıdır. 134
www.matematikkolay.net 2 2 x ax b Grafik, f(x) fonksiyonuna ait oldux 2px k a b ğuna göre, kaçtır? p k 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 4 4 E) 3 www.matematikkolay.net x 2 noktasında düşey asimptot var. Demek ki x 2 için fonksiyonun paydası 0 oluyor. Ayrıca : x 2 Çözüm  2 2 değeri, çift katlı kök olmalıdır. Çünkü f(x), x 2’den önce ve sonra pozitiftir. İşaret değiş – tirmemiştir. O halde; payda x 2 x 4x 4 tür. Buna göre; p 2 , k 4 olmalıdır. x 0 için f(x) 1 ise grafi     2 2 2 kten görüyoruz. x ax b b 1 1 b k dir. x 2px k k b 4 tür. x 2 için f(x) 0 ise grafikten görüyoruz. x 2 için kesrin payı 0 dır. x ax b    4 0 4 2a b 0 4 b 2a a 4 tür. O halde; a b 4 4 8 4 buluruz. p k 2 4 2    143
sinx f(x) x eğrisinin yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisi – dir? A) y 3 B) y 2 C) y 1 D) y 0 E) y 1 www.matematikkolay.net x Yatay asimptot için x ‘da limit değerine bakılır. sinx lim x sinx en fazla 1 veya 1 : ola    Çözüm     x x 0 bilirken yani sınırlı iken paydadaki x, sonsuza gidiyor. Sayı 0 olduğundan bu limit değeri de 0’a eşittir. sonsuz sinx lim 0 buluruz. Cevap: y 0 x sinx Not : x 0’a giderken lim 1 ‘e eşittir. x          146
2 2 ax 4 y x bx c fonksiyonuna ait asimptotların denklemleri x 1, x 2 ve y 2 doğruları olduğun a göre, a b c kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) 7 www.matematikkolay.net 2 2 ax 4 y x bx c Düşey asimptotlar, paydayı 0 yapan x değerleridir. Düşey asimptotlar, x 1 v : e Çözüm      2 b c 2 2 2 x 2 x 2 ise payda x 1 x 2 x 3x 2 dir. ax 4 y olur. x 3x 2 Yatay asimptot ise sonsuzdaki limit değeridir. ax 4 a lim a dır. y a doğrusudur. x 3x 2 1 Buna göre; a 2 dir. O halde; a b c 2 3   2 52 7 buluruz. 147