En Kısa Mesafe, En Kısa Uzunluk, En Kısa Yol Soruları

www.matematikkolay.net Aralarında 20 km bulunan iki kişi ok yönlerinde sırasıyla 6 km / sa ve 2 6 km / sa hızlarıyla hareket ediyorlar. Buna göre, kaç saat sonra aralarındaki uzaklık en az olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 www.matematikkolay.net |AB| uzunluğu şekildeki gibi AOB üçgeninin hipote – nüsüdür. t süre sonra; |AO| 20 6t |OB| 2 6t dir. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |AB| |AO| |OB| |AB| (20 6t) (2 6t) 400 120t 36t 24t 400 120t 60t dir. Türev alıp, 0’a eşitleyelim. ( 400 120t 60t )’ 0 120 120t 0 120 120t 0 2 400 120t 60t   t 1 dir. 40
www.matematikkolay.net Sahilde B noktasına 12 km uzaklıktaki bir kişi deniz motoruyla 3 km/ dk hızla önce sahile, daha sonra B noktasına 20 km uzaklıktaki evine arabayla 5 km/ dk hızla gitmek istiyor. En kısa sürede eve ulaşmak için sahile çıktığı D nok – tasının eve uzaklığı olan AD kaç km olabilir? A) 6 B) 9 C) 11 D) 12 E) 15 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 144 x 20 x Süre 3 5 Türev alıp, 0’a eşitleyelim. 2x 1 0 3.2. 144 x 5 x 1 5x 3 144 x 3. 144 x 5 25x 9.(1  2 2 2 2 2 44 x ) 25x 1296 9x 16x 1296 x 81 x 9 dur. |AD| 20 x 20 9 11 km buluruz. 51
    AB BC , DE // AB , BE 27 br ve ED 8 br olduğuna göre, AC nin alabileceği en küçük değer kaç birimdi  r? A) 21 B) 13 13 C) 6 7 D) 5 10 E) 4 7 www.matematikkolay.net : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 2 |DC| x 64 pisagor x 64 |AC| (27 x) benzerlikten x x 64.(27 x) |AC| tir. Türevini 0’a x    2 2 2 2 eşitleyelim. 2x (27 x) x 64 x 1 x 64.(27 x) 2 x 64 0 x Pay kısmına bakalım. 2          x 2   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 (27 x) x 64 x 1 x 64.(27 x) 0 x 64 x 64 ile genişletelim. (27x x x 64)x (x 64)(27 x) 0 (27x 2x 64)x (x 64)(27 x) 0 27x 2x 64x (27x x 64.27 64x) 0 27x            3 2x 64x 2 27x 3 x 64.27 64x 3 2 x 64.27 x 4.3 12 dir. 12 64.(27 12) 208.39 4 13.39 |AC| 13 13 12 12 12 buluruz. 81
www.matematikkolay.net 1 2 1 Hızları V ve V olan araçlar şekildeki yönlerde aynı anda harekete başlıyor. V 4 km/ sa 2 V 2 km/ sa BC 10 km olduğuna göre, kaç saat sonra aralarındaki uzaklık minimum olur? 10 9 8 6 A) B) C) D) E) 1 7 7 7 7 : Çözüm 2 2 2 2 2 2 2 2 Aradaki uzaklık d ise; d (4tsin60) (10 2t 4tcos60) (2t 3) (10 4t) 12t 100 80t 16t 28t 80t 10 0 Türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 56t 80 0 80 10 t buluruz. 56 7 www.matematikkolay.net 82
İki gemiden Birincisi koordinat düzleminde saatte 20 km hızla güneye İkincisi koordinat düzleminde saatte 15 km hızla doğuya doğru seyir halindedir. Belli bir anda ikinci gemi, birinci geminin y ekseni üzerinde 100 km güneyinde kalıyor. Bu andan itibaren kaç saat sonra gemilerin arasın – daki mesafe en az olur? 18 14 16 19 17 A) B) C) D) E) 5 5 5 5 5 www.matematikkolay.net : Çözüm Aradaki mesafe bir üçgenin hipotenüsüdür. 20 ile güneye inen araç 100 km’lik güney farkını kapatmay          2 2 a çalışacaktır. Hızı 15 olan araç, doğuya doğru her saat 15t’lik bir yol gidecektir. Bunu denkleme dökersek; Mesafe 100 20t 15t dir. Minimum değer için türev alıp, 0’a eşitleyelim. 2 100 20t 20 2 15t 15 0 40100 20t 3015t 0 4000 800t 450t 0 4000 1250t 0 1250t 4000 4000 t 16 1250 5 16 buluruz. 5 129
www.matematikkolay.net A kenti, doğu batı yönündeki bir karayolu üzerin – dedir. C beldesi, A nın 30 km doğusunda bulunan B beldesinin 20 km kuzeyindedir. C beldesinin bu karayoluna bağlayacak olan CP karayolu yapılacak, bu yolun bağlantı noktası ile A kenti arasındaki eski yolda da iyileştirme çalışması yapılacaktır. Yeni yapılacak yolu kilometresi 3 TL ‘ ye, iyileştirme çalışmasının kilometresi 2 TL ‘ ye mâl olmaktadır. Buna göre, yolun en düşük maliyeti kaç TL olur? A) 120 4 5 B) 100 16 5 C) 100 20 5 D) 60 16 5 E) 60 20 5 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 2 2 İyileştirilen Yeni y yol PB x dersek, AP 30 x km olur. PC 20 x 400 x olur. Maliyet AP .2 PC   apılan yol 2 2 2 2 .3 (30 x).2 400 x .3 60 2x 3 400 x liradır. Türev alıp, 0’a eşitleyerek minimum noktayı bulalım. 60 2x 3 400 x ‘ 0 2x 2 2 3 0 3 2 400 x    2 x 2 2 400 x   2 2 2 2 2 2 2 2 2 3x 1 3x 2 400 x 2 400 x 9x 4 400 x 9x 1600 4x 5x 1600 x 320 x 64.5 8 5 tir. Maliyet 60 2x 3 400 x 60 2.8 5 3 400 320        60 16 5 3 720 60 16 5 3 144.5 60 16 5 3.12 5 60 16 5 36 5 60 20 5 lira buluruz. 130
www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde D noktasında kayıkta bulunan bir kişi sahildeki A noktasından 8 km uzaklıktaki C     noktasına en kısa sürede ulaşmak istiyor. AC 8 km, AD AC , AD 6 km, kayığın hızı 3 km/ sa, adamın sahildeki hızı 6 km / sa olduğuna göre, kayık sahildeki A noktasından kaç km uzağa yanaştırılmalıdır? A) 7 B) 4  3 C) 6 D) 3 3 E) 2 3 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 x 36 8 x t türev alıp, 0’a eşitleyelim. 3 6 2 x 2 2 1 0 x 36.3 6 x 3 2 1 x 36 6 2 2 2 2 2 2 2x x 36 4x x 36 3x 36 x 12 x 2 3 buluruz. 44
www.matematikkolay.net     AB AD , AB 2 km ve AD 3,5 km dir. Şekildeki A noktasından 2 km uzakta olan B noktasındaki deniz taş  ıtında bulunan Ömer Beyi A nok – tasından 3,5 km uzaktaki D noktasına deniz taşıtı ile ulaştık tan sonra C noktasından D noktasına yürüyerek gidiyor. Deniz taşıtının saatteki hızı 3 km, Ömer Bey’in kıyıdaki yürüme hızı da saatte 5 km dir. Buna göre, B noktasından D noktasına en kısa sürede ulaşan Ömer Bey ‘in C noktasından D nok – tasına kadar yürüdüğü mesafe kaç km dir? A) 3,5 B) 3 C) 2,5 D) 2 E) 1,5 : Çözüm www.matematikkolay.net 2 Taşıtla gidilen yol Yürünen yol t 3 km/sa 5 km/sa x 4 3,5 x t (türev alıp, 0’a eşitleyelim. 3 5 ) 2x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 0 .3 x 4 5 3 x 4 5 5x 3 x 4 25x 9x 36 16x 36 36 6 x x 1,5 16 4 |CD| 3,5 x 3,5 1,5 2 buluruz.   46
Bir binanın en üst katındaki eşyaları taşımak için binanın 8 metre gerisinde bulunan 27 metrelik desteğe dayalı en kısa merdiven koyuluyor. Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? A) 30 B) 36 C) 39 D) 42 E) 45 www.matematikkolay.net : Çözüm www.matematikkolay.net Binanın boyuna x, Zeminin tamamına y diyelim. Benzerlikten, y’ yi x cinsinden ifade edelim. y 8 27 y x 2 2 2 2 xy 8x 27y y(x 27) 8x 8x y dir. x 27 Merdivenin boyunun karesi y x 8x (x) (Türev alıp, 0’a eşitleyelim) x 27 8x x 27                2 2 (x) ‘ 0 2            2 8x 8. x 27 8x . 2 x 27 x 27               x 0 8x x 8 x 27        27 x     2 2 3 3 x 0 x 27 64 27 x x 27 x 27 4 .3 . x          3 x (x 27) 1 3 3 (x 27) 12 x 27 12 x 39 bulunur.    52
www.matematikkolay.net Yukarıdaki verilere göre, açısının en büyük değeri için P noktası B den kaç birim uzakta seçilmel  idir? A) 5 2 B) 2 C) 5 1 D) 10 2 E) 10 1 : Çözüm www.matematikkolay.net www.matematikkolay.net   x tana 1 1 2 x tanb dir. 2 a b olduğundan, tana tanb tan tan a b 1 tana. tanb 2 x 2x 2 x x 2 2 2 x 1 x 1 2    2 x 2 2 2x x 2 2 2 2x x 2        2 2 2 2 2 2 x 2 x 2x 2 x 2 tan x 2x 2 en büyük olduğunda tan değeri de en büyük olur. tan nin en büyük değeri için türev alıp, 0’a eşitleyelim. x 2 1. x 2x 2 2x 2 x 2 ‘ x 2x 2 x 2x 2 0’a eşitleyeceğimiz                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 için paydaya bakmaya gerek yok. 1. x 2x 2 2x 2 x 2 0 x 2x 2 2x 2x 4x 4 0 x 2x 2 2x 2x 4x 4 0 x 4x 6 0 x 4x 6 0 x 4x 4 10 0 x 2 10 0 x 2 10 x 2 10 x 10 2 buluruz.   68
            AB BD , AC CE , ED CD CD 8 cm, BC 27 cm olduğuna göre, tan nın hangi değeri için AC EC toplamı en küçü     k olur? 1 1 1 2 3 A) B) C) D) E) 4 3 2 3 4 www.matematikkolay.net : Çözüm 2 2 27 8 cos , sin |AC| |CE| 27 8 |AC| |CE| cos sin Türevini 0’a eşitleyelim. 27sin 8cos 0 cos sin         2 2 3 3 3 8cos 27sin sin cos 8 sin 8 2 tan tan buluruz. 27 cos 27 3           43