n.mertebeden türev, yüksek mertebeden türev

(n) n 1 f(x) 2x 1 fonksiyonunun n.mertebeden türevi olan f (x) aşağıdakilerden hangisidir? -1 A) 1 n n n 1 n n n n n n n 1 n 1 n n n n!2 ( 1) n!2 B) (2x 1) (2x 1) ( 1) (n 1)!2 ( 1) n!2 C) D) (2x 1) (2x 1) ( 1) n!2 E) (2x 1) www.matematikkolay.net 2 2 3 3 1 f(x) 2x 1 1.(2x 1)’ 1.2 1.türev (2x 1) (2x 1) 1.2.2.(2x 1)’ 1.2.2.2 1 2.türev (2x 1 x 1 : ) (2 )   Çözüm 2 3 2 3 4 4 4 5 n .2.2 (2x 1) 1.2.3.2 .(2x 1)’ 3!.2 3.türev (2x 1) (2x 1) 4!.2 4.türev (2x 1) …. Tek sayılı türevlerde negatif, çift sayılı türevlerde pozitif oluyor ( 1) olarak belirtebiliriz. Pay kısmında, kaçınc    n n n 1 ı mertebeden türevdeysek, onun faktöriyeli ve 2 üzeri şeklinde o sayı var. Paydada ise mertebenin 1 fazlasının kuvveti şeklinde yazılıyor. Buna göre; ( 1) n! 2 n.türev şeklinde ifade edebili (2x 1)  riz. 78
3 a sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere, f(x) (x a) .(x 2) ve f ”(1) 0 olduğuna göre, a kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 www.matematikkolay.net 3 2 3 2 2 f(x) (x a) (x 2) f ”(1) 0 f ‘(x) 3(x a) (x 2) (x a) f ”(x) 6(x a)(x 2) 3(x a) 3 : (x a) f ‘ Çözüm 2 2 2 2 ‘(1) 6(1 a)(1 2) 3(1 a) 3(1 a) 0 6(1 a)( 1) 6(1 a) 0 6(1 a) 6(1 a) a 1 buluruz. 57
3 4 f(x) 3x(x 2) (x 2) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevinin x 1 için değeri kaçtır? A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 3 4 3 3 ı 2 3 ı f(x) 3x(x 2) (x 2) f(x) (x 2) (3x x 2) f(x) (x 2) .(4x 2) f (x) 3.(x 2) .(4x 2) 4.(x 2) f : (x) Çözüm 2 ı 2 2 ıı 2 ıı 2 ıı (x 2) 3.(4x 2) 4.(x 2) f (x) (x 2) 12x 6 4x 8 (x 2) .(16x 14) f (x) 2.(x 2).(16x 14) 16.(x 2) f (1) 2.(1 2).(16.1 14) 16.(1 2) f (1) 2.2 16 12 bulunur. www.matematikkolay.net 81
-8 2 2 y ise y ? x 3x 2 www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 2 y x 3x 2 (x 2)(x 1) x 2 x 1 2 2 1 1 2 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 y’ 2 x 2 x 1 y” 2 : Çözüm 3 3 4 4 (n) n n 1 n 1 (8) 8 8 1 8 1 -8 9 9 2 2 x 2 x 1 6 6 y”’ 2 x 2 x 1 1 1 y 2 1 n! x 2 x 1 1 1 y 2
www.matematikkolay.net 1 2t 2t 1 2 2 d y olduğuna göre, if x e adesinin t 0 için değeri dx y e kaçtır? 2t 2t 2t 2t 2t x e x e.e e e dir. e x y y e .e e dir. e Birbirine eşitleyelim. y e e : x    Çözüm 0 2 2 2 2 3 1 2t 2 2 3 3 e y tir. x e y’ dir. Birinci Türev x 2e y” tür. İkinci Türev x t 0 için x e e dir. 2e 2e 2 x e için y” buluruz. x e e  128
x -50 f(x) x.e olduğuna göre, f (x) ifadesinin eşitini bulunuz. www.matematikkolay.net x x x x x x (3) x x x x (n) x x x n tane f(x) x.e f ‘(x) e x.e f ”(x) e e x.e f (x) e e e x.e f (x) e e … e : Çözüm x (50) x x x x 50 tane x x x.e f (x) e e … e x.e 50.e x.e buluruz. 24
www.matematikkolay.net 2 f(x) 2sin x fonksiyonunun n.mertebe den türevi n edir? 2 3 -4 : f ‘(x) 4sinx.cosx 2sin2x f ”(x) 2.2cos2x 2 .cos2x f ”'(x) 4.2sin2x 2 sin2x f (x) 8.2cos2 x Çözüm (5) 5 n n n n n 16cos2x f (x) ( 16)( 2).sin2x 2 sin2x …. Türev her 4 adımda tekrarlanmaktadır. Buna göre; k bir sayma sayısı olmak üzere; n 4k ise f (x) 2 cos2x n 4k 1 ise f (x) 2 sin2x n 4k 2 ise f (x) n n n 2 cos2x n 4k 3 ise f (x) 2 sin2x 10
-4 f(x) 4.cosx.sinx olduğuna göre, f (x) fonksiyonunun eşitini bulunuz. f(x) 4.cosx.sinx f(x) 2.2cosx.sinx f(x) 2.sin2x f ‘(x) (2.sin2x)’ 2.2.cos2x 4cos2 : x Çözüm 2 3 4 f (x)= 8.sin2x f (x) 16cos2x f (x) 32sin2x buluruz. 23
2 77 77 f(x) cos x d olduğuna göre, f(x) ifadesinin eşitini bulunuz. dx 2 -3 -4 -5 f(x) cos x f ‘(x) 2cosx.sinx sin2x f ”(x) (sin2x)’ 2cos2x f (x) 4sin2x f (x) 8cos2x f (x) : Çözüm (77) 76 16sin2x … Her 4 türevde bir tekrarlanacaktır. 77. türevde 77 / 4 kalan 1 dir. Buna göre; f (x) 2 sin2x olacaktır.  www.matematikkolay.net 25
20 20 f(x) ln(x 1) d f(x) olduğuna göre, ifadesinin eşitini bulunuz. dx 1 2 (3) 3 (4) 4 (n) f(x) ln(x 1) 1 f ‘(x) (x 1) x 1 f ”(x) (x 1) f (x) 2(x 1) f (x) 6(x 1) … f (x ( 1 : ) Çözüm n 1 n (20) 20 1 20 20 ) .(n 1)!.(x 1) f (x) ( 1) .(20 1)!(x 1) 19!.(x 1) buluruz. 26
x -12 f(x) e sinx olduğuna göre, f (x) ifadesinin eşitini bulunuz. www.matematikkolay.net x x x (3) x (4) x (5) x f(x) e sinx f ‘(x) e cosx f ”(x) e sinx f (x) e cosx f (x) e sinx f (x) e cosx : Çözüm (12) (4) x (tekrar ediyor) 4 türevde bir tekrar ediyor. 12 de 4’ün katı olduğundan; f (x) f (x) e sinx tir. 27
x 2 (n) (k) k 1 f(x) e x fonksiyonunun n.mertebeden türevi f (x) olmak üzere, f (0) i   2 fadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) e E) e x 2 x 2 2 x 2 2 -3 f(x) e x 1 1 f ‘(x) e 1 f ‘(0) 1 2 2 1 1 f ”(x) e f ”(0) 2 2 1 f (x) 2 :   Çözüm 3 x 3 2 (3) n x n (n) 2 (n) 2 3 (k) k 1 n k 0 1 e f (0) 2 … 1 1 f (x) e f (0) dir. Buna göre; 2 2 1 1 1 1 f (0) 1 … 2 2 2 2 1 1 1 2 buluruz. 2 1 1 1 2 2        www.matematikkolay.net 36
-23 x.sinx 1 f(x) f ( ) kaçtır? x  1 2 3 (3) 4 -4 x.sinx 1 1 f(x) sinx sinx x x x f ‘(x) cosx x f ”(x) sinx 2x f (x) cosx 6x f (x) sin : x Çözüm 4 1 n (n 1) (23) 23 (23 1) (23) 24 -23 24x Her 4 türevde bir, trigonometrik kısım tekrarlanıyor. x in türev
3 5 5 ln y t 1 x 3 3t d y olduğuna göre, ifadesinin eşiti aşağıdakilerden dx hangisidi x r? A) 0 B) x C) 1 D) e E) lnx 3 3 3 ln y t 1 t ln y 1 x 3 3t x 3 3(ln y 1) x 3 :    Çözüm 3ln 3 y 3 3 3 x x 5 x 5 x ln y x lny y e dir. e ‘in tüm mertebelerden türevi kendisine eşittir. d y e bulunur. x    60
10 10 10 10 9 10 d (lnx) dx ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 10! 9! 9! 9! A) B) C) D) E) x x x x 10 10! x www.matematikkolay.net 10 10 2 3 d (lnx) 10 kere türev almamız isteniyor. dx 1 1.türev x 1 2.türev x 01.Şub 3.türev x 4.tür :     Çözüm 4 n 1 n 9 10 10 01.02.2003 ev x … (n 1)! n.türev ( 1) şeklinde yazabiliriz. x Buna göre; 9! 9! 10.türev ( 1) buluruz. x x    77
www.matematikkolay.net 2 2 x 2 x olduğuna göre, f ‘(1) değeri kaçtır? A) ln( 2e ) B) 1 C) 0 x 2 f(x) x .2 1 D) E) ln(2e) 4 2 x 2 x x 2 2 x 2 x 2 x x 2 x f x fonksiyonunu biraz düzenleyelim. x 2 x 2 1 1 f x 2 x dir. x .2 x .2 x .2 2 x f x : 2 Çözüm 2 x 3 1 3 2 2 x ise f ‘ x 2 ln2 2x tür. f ‘ 1 2 ln2 2. 1 1 ln2 2 2 1 ln2 2 2 ln 2 lne ln 2e buluruz. 136