Polinomun kendisini ortaya çıkarma, polinomu bulma

www.matematikkolay.net 2 x 2 .P x x m 9 olduğuna göre, P x 1 ‘in x 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D)          2 E) 1 2 2 x 2 P x x m 9 x 2 için sol taraf 0 olur. 2 2 .P 2 2 m 9 0.P 2 4 m 9 0 13 m m 13 tür. m değerini :                      Çözüm 2 2 2 yukarıda yerine yazarsak; x 2 P x x 13 9 x 2 P x x 4 x 4 x 2 x 2 P x x 2 dir. x 2 x 2 P x 1 ‘in x 3 ile bölümünden kalanı bulmak için x 3 0 x 3 P( 3 1) P 2 hesaplanmalı. P x x 2 P 2 2 2 4 bulunur.                                       27
www.matematikkolay.net 3 2 x 1 .P x x 7x m 1 olduğuna göre, P x polinomunun katsayılar top – lamı kaçtır? A) 11 B) 13 C) 14      D) 15 E) 17 3 2 3 2 (x 1) P(x) x 7x m 1 x 1 yazarsak (1 1) P(1) 1 7.1 m 1 0 1 7 m 1 0 9 m m 9 dur. O hald : e; (x                      Çözüm 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1) P(x) x 7x 9 1 (x 1) P(x) x 7x 8 (x 1) P(x) x x 8x 8 (x 1) P(x) x x 1 8(x 1) (x 1) P(x) x x 1 8(x 1)(x 1) (x 1) P(x) x x 1 8(x 1)(x 1) (x 1)                                      P(x)  x 1 2 2 x 8(x 1) P(x) x 8x 8 dir. Polinomun katsayılar toplamı 1 8 8 17 dir.          28
www.matematikkolay.net İkinci dereceden P x polinomu x 4 , x 1 , x 2 ile bölündüğünde kalanlar sırasıyla 4, 4, 22 oluyor. Buna    göre, Px in x 3 ile bölümünden kalan kaç – tır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9  www.matematikkolay.net 2 P(4) 4, P(1) 4 ve P( 2) 22 dir. P(x) ax bx c şeklinde bir polinom olsun. Sırasıyla b :        Çözüm u değerleri yazalım. x 4 için 16a 4b c 4 x 1 için a b c 4 x 2 için 4a 2b c 22 Bu denklemlerden, a b c değerlerini bulalım. 2.denklemi 2 ile çarpalım ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.                  1 1 16a 4b c 4 2a 2b 2c 8 4a 2b c 22 18a 18 a 1 dir. a b c 4 b c 3 4a 2b c 22 2b c 18 / b c 3                                2b c 18 b c 3 2b c 18 3b 15 b 5 tir. b c                 2 2 3 5 c 3 c 8 dir. O halde; P(x) x 5x 8 polinomudur. P(3) sorulmuştu. P(3) 3 5.3 8 9 15 8 17 15 2 buluruz.                    29
www.matematikkolay.net P x üçüncü dereceden bir polinomdur. P x polinomu x 2 , x 1 ve x 2 ile tam bölünebilmektedir. P x polino    munun x 1 ile bölümünden kalan 36 olduğuna göre, P x polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 24 B) 18 C) 0 D) 18 E) 24    P(x) a(x 2)(x 1)(x 2) şeklinde yazabiliriz. P(1) 36 ise; a’yı bulalım. P(1) a(1 2)(1 ) : 1 (1 2)          Çözüm 36 a.( 1).2.3 36 6a a 6 dır. O halde; P(x) 6(x 2)(x 1)(x 2) polinomunu bulmuş buluruz. Bize P(0) sorulmuş. P(0) 6(0 2)(0 1)(0 2) P(0) 6( 2)(1)(2) P(0) 6.( 4) P(0) 24 buluruz.                        30
Baş katsayısı 2 olan ikinci dereceden bir P x poli – nomunda P 2 P 1 4 olduğuna göre, P 3 P 0 far    kı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 2 2 2 P x 2x ax b P(2) P(1) 4 2.2 2a b 2.1 a b 4 8 a b : 2              Çözüm 2 a b 2 2 4 6 a 4 a 2 dir. P(x) 2x 2x b dir. O halde; P(3) P(0) 2.3 2.3 b 0 0 b 18 6 b b                    12 buluruz. www.matematikkolay.net 35
2.dereceden bir P x polinomu için P x P x 1 2x 4 eşitliği veriliyor. P 0 2 olduğuna göre, P x aşağıdakile      2 2 2 2 2 rden hangisidir? A) x 3x 2 B) x 3x 2 C) x 4x 2 D) x 4x 2 E) x 5x 2           2 2 P x , ikinci dereceden bir polinom ise; P x ax bx c olmalı. P 0 2 c 2 dir. P x P x 1 2x 4 ax x : bx 2 a              Çözüm 2 2 1 b x 1 2 2x 4 ax        bx 2 2 ax 2ax a bx b 2 2 2x 4 2ax a b 2x 4 2a 2 a 1 dir. 1 b 4 b 3 tür. P x x 3x 2 bulunur.                     40
www.matematikkolay.net 2 2 2 2 P 3x 1 x x 1 olduğuna göre, P 6x 1 aşağıdakilerden hangisi – dir? A) x x 2 B) 2x x 1 C) 4x 2           2 2 x 1 D) 4x 3x 1 E) 4x x 1      2 2 x 1 3 2 P(3x 1) x x 1 x 1 x yerine yazalım 3x 1 in tersi 3 P(3 x 1) x x 1 x 1 x 1 P(x) 3 3 :                      Çözüm 2 2 2 2 1 6x 1 1 6x 1 1 P(6x 1) 1 3 3 6x 6x 1 3 3 2x 2x 1 4x 2x 1 buluruz.                               41
2 2 P x bir polinomdur. x a .P x x x a 3 eşitliği daima doğru olduğuna göre, P 1 kaçtır? A) 5 B)        4 C) 0 D) 2 E) 4 www.matematikkolay.net 2 2 2 2 0 2 x a .P x x x a 3 x a olsun. a a .P : a a a a 3 12:00 AM                  Çözüm 2  a a 2 2 2 3 0 a 3 a 3 tür. Buna göre; x 3 .P x x x 3 3 x 3 .P x x x 12 x 3                .Px  x  4 x  3 P(x) x 4 tür. P 1 1 4 5 buluruz.         57
3 x ax 1 x 1 .P x olduğuna göre, P 1 kaçtır? A) 13 B) 8 C) 6 D) 5 E) 3     www.matematikkolay.net 3 0 3 x 1 yazarak, a’yı bulalım. x ax 1 x 1 .P(x) 1 a 1 1 1 .P(1) a : 0 olmalıdır. x 1 x 1 .P(x)              Çözüm olur. x 1 2 x  x 1  x 1 2 .P(x) P(x) x x 1 dir. O halde; P(1) 1 1 1 3 buluruz.        58
2 Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden P x polino – mu x x 2 ile tam bölünüyor. P x in katsayıları topl   2 amı 2 olduğuna göre, P x aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünür? A) 2x 3 B) x 2 C) x 1 D) x E) 2x 3     2 P(x), başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden bir polinom ise; P(x) 2 x x 2 x a şeklinde bir l :     po Çözüm 2 inomdur. Katsayıları toplamı 2 ise P(1) 2 dir. Yerine yazalım. P(1) 2 1 1 2 1 a 2       2 2 2 1 a 1 1:00 AM 2 3 a dır. 2 3 P(x) 2 x x 2 x 2 P(x) 2                   2 2x 3 x x 2 2    2 P(x)  x  x 2 2x 3  2x 3’e tam bölünür. 63
www.matematikkolay.net 3. dereceden bir P x polinomu x 1, x 1, x 2 ile tam bölünebilmektedir. P x polinomunun x 2 ile bölümün     den kalan 24 ise x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8  P(x) a x 1 x 1 x 2 şeklinde bir polinomdur. x 2 ile bölümünden kalanı bulmak için x 2 yazarı : z       Çözüm . P 2 24 ise a 2 1 2 1 2 2 24 a.1.3.4 24 a 3 tür. O halde; P(x) 3 x 1 x 1 x 2 dir. x ile bölümünden kalanı bulmak için x 0 yazarız. P(0) 3 0 1 0 1 0 2 3. 1 .1.2 6 buluruz.                           82
P x polinomunu x 2 ve x 3 e tam bölünebi – len baş katsayısı 5 olan bir polinomdur. P 1 x polinomunun x    2 ile bölümünden kalan 12 olduğuna göre, P 1 kaçtır? A) 32 B) 30 C) 28 D) 24 E) 16  www.matematikkolay.net P(x) polinomu 3.dereceden bir polinom ve iki çarpanı verilmişse P(x)’i şöyle ifade edebi : liriz Çözüm 2 3 2 . P(x) (ax b).(x 2)(x 3) P(x) (ax b)(x x 6) x lü terimin katsayısı 5 olması için a 5 olmalıdır. P(x) (5x b)(x x 6) x 2 0 yapan x değeri 2 dir. P(1 x)’ te x yerine 2 yazarsak P(3) olur.                   2 2 Yani; P(3) 12 dir. Bunu kullanarak b’yi bulalım. P(x) (5x b)(x x 6) idi. P(3) (5.3 b)(9 3 6) 12 (15 b)(6) 12 15 b 2 b 13 dir. P(x) (5x 13)(x x 6) polinomunu elde ederiz. P(1) ( 8                         )(4)  32 buluruz. 91
4 3 2 P x x ax 8x bx 36 polinomu tam kare oduğuna göre, b 6a ifadesi – nin değeri kaçtır? A) 6 B) 4 C) 0 D)         8 E) 12 2 2 4 3 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 P x x cx 6 şeklinde olmalıdır. x cx 6x cx c x 6cx 6x 6cx 36 x 2cx 12x c x 12cx 36 P :                  Çözüm 4 x  x 3 2  ax 8x bx  36 4  x 3 2 2 2 2cx 12x  c x 12cx  36 3 3 2cx ax a 2c dir. 12cx bx b 12c b 6a 12c 6.2c 12c 12c 0 bulunur.                 33
www.matematikkolay.net P x polinomu x 3 ile bölündüğünde bölüm Q x , kalan 1 dir. Q x polinomu x 1 ile bölündüğün – de kalan 2    2 dir. Buna göre, P x polinomunun x 2x 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 2 B) 2x 4 C) 2x 7 D) 2x 9 E) x 1        P x x 3 .Q x 1 yazılabilir. Q x x 1 R x 2 bu polinomu yukarıya yazalım. P x x 3 . x 1 R x 2 1 olur : . P x x             Çözüm 2 2 Burası tam bölünür 3 x 1 R x 2 x 3 1 x 2x 3 R x 2x 6 1 x 2x 3 R x 2x 7 Kalan 2x 7 buluruz.                    www.matematikkolay.net 34