Karmaşık sayılı kökü olan polinomlar

Başkatsayısı 2 olan, 2i ve 3i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsayı  – lı P x polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 48 B) 52 C) 56 D) 60 E) 72 Karmaşık sayıların eşlenikleri de polinomun kökleridir. Buna göre; P(x) polinomunu P(x) 2 :  (x 2 Çözüm 2 2 i)(x 2i)(x 3i)(x 3i) şeklinde yazabiliriz. Sabit terim P(0) 2(0 2i)(0 2i)(0 3i)(3i) P(0) 2( 4i )( 9i ) 02.04.2009 7              2 buluruz. www.matematikkolay.net 13
Baş katsayısı 1 olan, i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsayı  lı P x polinomu için P 0 kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 www.matematikkolay.net Dördüncü dereceden gerçek katsayılı bir polinomun iki kökü i ve 2i ise diğer iki kökü bu kö :  k Çözüm 4 lerin eşleniği olan i ve 2i olmalıdır. Başkatsayısı 1 olan P(x) polinomu; P(x) (x i)(x i)(x 2i)(x 2i) olur. P(0) (0 i)(0 i)(0 2i)(0 2i) P(0) ( i).i.( 2i).2i 4.i 4.1 4 bulunur.                  16
www.matematikkolay.net P x baş katsayısı 2 ve sabit terimi 13 olan üçüncü dereceden gerçek katsayılı bir polinomdur. P x  0 d enkleminin köklerinden biri 3 2i olduğuna göre P 2 kaçtır?  : Bir kökü 3 2i ise,diğeri 3 2i dir. Buna göre; P(x) 2.(x 3 2i)(x 3 2i)(x a) şeklinde yaz bil a         Çözüm iriz. P(0) 2.( 3 2i)( 3 2i)( a) 13 2.(9 4).( a) 13 Şub.13           .(a)  13 1 a dir. 2 1 P(x) 2.(x 3 2i)(x 3 2i)(x ) 2 1 P(2) 2.(2 3 2i)(2 3 2i)(2 ) 2 5 2.( 1 2i)( 1 2i) 2 5 2.(1 4) 2 2                         5 .(1 4) 2    5.5  25 buluruz. 18
Üçüncü dereceden gerçek katsayılı bir polinom kökleri 2 ve 2- i dir. Bu polinomunun sabit terimi 10 olduğuna göre, bu polinomun katsayılar toplamı kaçtır? A) -2 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6 Köklerden biri 2 i ise , diğeri bunun eşleniğidir. Yani 2 i dir. Buna bu polinomu P(x) :     Çözüm 2 2 2 2 a(x 2)(x 2 i)(x 2 i) şeklinde ifade edebiliriz. P(x) a(x 2) (x 2 i)(x 2 i) P(x) a(x 2) (x 2) i P(x) a(x 2) (x 2) 1 olur. Sabit terim 10 ise P(0) 10 dur. Buna göre; P(0) a(0 2) (0 2) 1 a( 2) 4 1                            2 2 10a dır. 10a 10 a 1 dir. P(x) (x 2) (x 2) 1 dir. Katsayılar toplamı için x 1 yazalım. P(1) (1 2) (1 2) 1 ( 1) 2 2 buluruz.                       www.matematikkolay.net 25
www.matematikkolay.net Köklerden ikisi 4 2i ve 6 olan üçüncü dereceden rasyonel katsayılı P x polinomunun sabit terimi 120 d  ir. Buna göre, P 1 değeri kaçtır? A) 40 B) 50 C) 65 D) 75 E) 80 Köklerden biri 4 2i ise , diğeri bunun eşleniğidir. Yani 4 2i dir. Buna bu polinomu P(x :    Çözüm 2 2 2 2 ) a(x 6)(x 4 2i)(x 4 2i) şeklinde ifade edebiliriz. P(x) a(x 6) (x 4 2i)(x 4 2i) P(x) a(x 6) (x 4) 2i P(x) a(x 6) (x 4) 4 olur. Sabit terim 120 ise P(0) 120 dir. Buna göre; P(0) a(0 6) (0 4) 4 a( 6) 1                            2 2 6 4 120a dır. 120a 120 a 1 dir. P(x) (x 6) (x 4) 4 tür. P(1) (1 6) (1 4) 4 ( 5) 9 4 65 buluru                        z. www.matematikkolay.net 37
www.matematikkolay.net Baş katsayısı 1 olan, i ve 3i karmaşık sayılarını kök kabul eden üçüncü dereceden P x polinomu veri  – liyor. P 0 6 olduğuna göre, üçüncü kök kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3     P(x) 1. x i x 3i x a şeklinde bir polinomdur. P 0 6 bilgisini kullanarak a’yı bulalım. 1. 0 i 0 :        Çözüm 3.kök burada 3i 0 a 6 i.3i. 0 a 6 3.a 6 a 2 dir. P(x) 1. x i x 3i x 2 şeklinde bir polinomdur. 3.Kök : x 2 0 x 2 dir.                 71
www.matematikkolay.net P x polinomunun katsayıları toplamı P 1 dir. Başkatsayısı 2 olan dördüncü dereceden rasyonel katsayılı P x polinomunun köklerinden iki tanesi 3 2 ve 2i olduğuna göre, P x polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 12 B) 20 C) 36 D) 40 E) 60  Polinomun katsayıları rasyonel ise, diğer kökler, verilen köklerin eşlenikleri olmalıdır : . 3 2 Çözüm 2 2 nin eşleniği 3 2 dir. 2i nin eşleniği 2i dir. Buna göre; P x 2 x 3 2 x 3 2 x 2i x 2i Katsayılar toplamı P(1) ile bulabiliriz. P 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2i 1 2i 2 2 2 2 2 1 2i 1 2i 2 2 2 1 4                            24 25 02.02.2005 20 buluruz.     72
www.matematikkolay.net P x başkatsayısı 2 ve sabit terimi 13 olan üçüncü dereceden gerçek katsayılı bir polinomdur. P x  0 den kleminin köklerinden biri 3 2i olduğu – na göre, P 2 kaçtır? A) 35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15  2 P(x) (x 3 2i)(2x bx c) Bir kökü 3 2i ise diğer kökü 3 2i dir. Toplamları 6, çarpı : mları 13 tür        Çözüm 2 2 2 . Buna uygun 2.dereceden denklem x 6x 13 Buna göre; P(x) (ax b)(x 6x 13) tür. Baş katsayı 2 ise a 2 dir. Sabit terim 13 ise; P(0) b.13 13 b 1 dir. P(x) (2x 1)(x 6x 13) polinomunu elde ederiz. P(2)                   5.5  25 buluruz. 150