İki kümeli problemler

20 kişilik bir sınıfta satranç oynamasını bilenler 10, bilgisayar kullanmasını bilmeyenler 12, hem satranç oynamasını hem de bilg isayar kullanmasını bilme – yen 4 kişi olduğuna göre, bu sınıfta yalnız bilgisayar kullanmasını bilen kaç kişi var dır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 Çözüm: Satranç ve Bilgisayar oynamayı bilenleri küme ile gösterip, sonra denklemleri oluşturalım. www.matematikkolay.net Tersten giderek bilinmeyenleri bulalım. Hem satranç hem de bilgisayar bilmeyenler 4 kişiymiş. Bilgisayar kullanmasını bilmeyenler : x 4 12 ise x 8 buluruz. Satranç bilenler : x y 10 ise 8 y 10 y 2 bulur         uz. Tüm sınıf : x y z 4 20 ise 8 2 z 4 20 14 z 20 z 6 buluruz. (Yalnız bilgisayar kullanlar)            7 İngilizce ve Rusça dillerinden en çok birini bilen 50 kişilik bir toplulukta İngilizce bilenler, Rusça bilenlerin sayısının 7 katıdır. Toplulukta her iki dili de bilmeyen en az kaç kişi var dır ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: Bu dillerden en çok biri biliniyorsa, iki dili bilen yani İngilizce ile Rusça kümelerinin kesişimi yoktur. Rusça Bilenler x olsun. İngilizce Bilenler 7x olur. Hiç bilmeyenler y olsun; 7x x y 50       8x y 50 x en fazla 6 olabilir. 48 y 50 y 2 buluruz.          21 Herkesin voleybol veya basketbol oynadığı 30 kişilik bir toplulukta voleybol oynayanların sayısı 15, voleybol veya basketboldan en çok birini oynayanların sayısı 20 dir. Bu toplulukta sadece voleybol oynayan kaç kişi var dır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 www.matematikkolay.net 15 15 Sınıf mevcudu 30 ise x y z 30 dur. Voleybol oynayanlar 15 ise x y 15 tir. x y z 30 idi. Buradan z 15 bulunur. En çok birini oynayanlar 20 kişi ise x z 20 dir. x 5 buluruz. Bu da sadece              voleybol oynayanların sayısıdır. Doğru Cevap : A şıkkı 22 www.matematikkolay.net 35 yolcunun bulunduğu bir otobüste yolcular kek ve çay ikramlarindan en az birini tercih etmişlerdir. 25 yolcu çay içmeyi ve 20 yolcu da kek yemeyi tercih ettiğine göre kaç yolcu çay ve kek birlikte tercih etmiştir? 35 yolcu Çay içenler x y 25 Kek yiyenler y z 20 Toplarsak x y z y 45 y 10 dur. Bu da hem kek hem de çay içenlerin sayısıdır. Cevap: 10             33 Bir grupta İtalyanca bilip, İspanyolca bilmeyenlerin sayısı 5 , İspanyolca bilip İtalyanca bilmeyenlerin sayısı 6 , hiçbirini bilmeyenlerin sayısı 15 tir. Grupta 30 kişi bulunduğuna göre, her iki dili bilenlerin sayısını bulunuz. Soruda verilenleri, yukarıdaki gibi yerleştirebiliriz. Buna göre; x 5 6 15 30 dur. x 26 30 x 4 buluruz.        www.matematikkolay.net 44 www.matematikkolay.net Bir sınıfta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilen 51 öğrenci var dır. İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının 3 katı, her iki dil bilenlerin sayısının 5 katıdır. Buna göre, sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? A) 45 B) 40 C) 36 D) 30 E) 24           Çözüm: İngilizce bilenler, Almanca bilenlerin 3 katı,her iki dili bilenlerin 5 katı olduğuna göre İngilizce bilenlere 15k diyelim. Almanca bilenler 5k olur. Her iki dili bilen 3k olur. s İ A s İ s A s İ A s İ A       15k 5k 3k 51 51 17k 51 k 3 tür. 17 İngilizce bilenler 15k 15.3 45 bulunur.             47 Bir sınıfta M der sinden geçen 20, K der sinden kalan 16, K dersinden geçip M dersinden kalan 10 kişi olduğuna göre, K der sinden geçen en az kaç kişi vardır? A) 14 B) 16 C) 24 D) 26 E) 34 www.matematikkolay.net Verilenleri, yukarıdaki küme şekline yerleştirdik. y’yi en küçük yapmak için; x’i en büyük yapmak lazım. x z 16 x en fazla 16 olur. x y 20 y 4 olur. Buna göre K dersinden geçenler en        az; y 10  4 10 14 buluruz. 49 Bir turizm şirketinden bir günde tur satın alan 120 müşteri ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir. 15 müşteri sadece A turunu satın almıştır. 45 müşteri A ve B turlarından hiçbirini satın almamıştır. Sadece B turunu satın alan müşterilerin sayısı, A turunu satın alan toplam müşteri sayısının iki katıdır. Buna göre, sadece B turunu satın alan müşteri sayısı kaçtır? A) 30 B) 36 C) 45 D) 50 E) 60 Çözüm: Soruda verilenleri küme çizerek gösterelim. 45 kişi hiç bir tura katılmamışsa A ve B’nin birleşimi 120 45 75 tir. Sadece A kümesi 15 verilmiş. Sadece B kümesine x dersek, A ile B’nin kesişimi 60     x olur. Şöyle ki; www.matematikkolay.net Sadece B kümesi, A’nın 2 katı ise; x 2.(15 60 x) tir. x 2.(75 x) x 150 2x 3x 150 x 50 buluruz.          58 43 kişilik bir sınıfta İngilizce ve Fransızca bilenlerin sayısı, bu iki dilden hiçbirini bilmeyenlerin sayısına eşittir. İngilizce veya Fransızca bilenlerin sayısı 25 kişi oldu – ğuna göre, sadece bir dil bilen öğrenci sayısı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 15 D) 18 E) 21 www.matematikkolay.net İki dil bilenlerin sayısına x diyelim. Hiç dil bilmeyenlerin sayısı da x olur. İngilizce veya Fransızca bilenlerin sayısı 25 , Tüm sınıf 43 kişi ise; Hiç dil bilmeyenlerin sayısı 43 25 18 dir. x 18 dir. a     18 b x 25 (İngilizce veya Fransızca bilenler) Tek dil bilenler a b dir. a b x 25 a b 7 buluruz.            77