Sürekli olup olmadığı noktalar

2 f : R R x 2 , x 2 f(x) x 4 , x 2 x 2 noktasında fonksiyonun sürekliliği nedir?           2 2 x 2 x 2 Çözüm: Soldan yaklaşınca x 2 için f(x) x 2 2 2 2 x 2 noktasında lim f(x) lim x 4 2 4 2 Sağdan yaklaşınca f(x) x 4 2 4 2 Sağdan, soldan yaklaşınca ve x=2 noktasında da f(x) aynı değeri verdi                         ği için x=2 noktasında f(x) süreklidir. 5 www.matematikkolay.net 2 1 9 , x 2 x f(x) x 4 , 2 x 5 x 8 , 5 x fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır? A) 8 B) 15 C) 17 D) 19 E) 26                2 2 2 x 2 x 2 Çözüm: 1 x 3 için tanımsızdır. x 9 x 2 için sağdan ve soldan değerlere bakalım. 1 1 1 x 2 için f(x) x 9 2 9 5 x 2 noktasında lim f(x) lim |x 4| 2 Sağdan yaklaşınca da |x 4| 2 dir. Soldan ve                      sağdan aynı olmadığı için x 2 noktasında sürekdizdir. |x 4| tanımsız olacağı bir yer yok. x 8 x 5,6,7 için tanımsızdır. Toplamları 3 2 5 6 7 17 buluruz.              6 (3x 1) f(x) fonksiyonu [0, 2 ] aralığında sin2x cos2x kaç noktada süreksizdir?     www.matematikkolay.net -4 (4 Çözüm: (3x 1) f(x) fonksiyonunun süreksiz olması sin2x cos2x için paydanın 0 olması lazım. sin2x cos2x 0 sin2x cos2x sin2x 1 tan2x 1 dir. cos2x k 2x k x 4 8 2 k 0 x 8 5 k 1 x 8 2 8 2 k 2 x 8 2                                        ) -4 9 8 3 13 k 3 x 8 2 8 4 noktada süreksiz olduğunu buluruz.           15 2 2 f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu x (m 1)x 1 noktaların apsisleri toplamı 4 olduğuna göre, m ?      2 2 1 2 Çözüm: 2 f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu x (m 1)x 1 değerler paydayı 0 yapan değerlerdir.Bu değerlerin toplamı 4 ise; x (m 1)x 1 0 m 1 x x 4 4 1 m 1 4 m 5 bulunur.                    32 2 3 x 4 , x 2 x 2 f(x) a , x 2 x 8 , x 2 x 2 fonksiyonu tüm gerçek sayılar için sürekli olduğuna göre, a b kaçtır? A) 16 B) 12 C) 8 D) 4 E) 6                   www.matematikkolay.net 2 Çözüm: x 2 değeri için 3 fonkisyonda aynı değeri vermeli – dir. x 4 (x 2) x 2 için x 2        (x 2) x 2   3 x 2 4 tür. Buna göre; a 4 olmalıdır. x 8 x 2 için b 4 olmalıdır. x 2 (x 2)            2 (x 2x 4) x 2    2 2 b 4 x 2x 4 b 4 2 2.2 4 b 4 4 4 4 b 4                b 8 a b 4 ( 8) 12 buluruz.        35 2 x x 1 ise f(x) 5 1 x 1 ise x 1 biçiminde tanımlı f fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1          www.matematikkolay.net x a x a Çözüm: Süreklilik için, sağdan soldan limit ve o noktadaki fonksiyonun değeri birbirine eşit olmalıdır. Yani; lim f(x) lim f(x) f(a) Bu eşitlik sağlanırsa sürek – lilik vardır. Verilen fonksiyo        x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 nda kritik nokta olan 1’i incelersek; x 1 lim f(x) lim tir. 5 5 1 1 lim f(x) lim dir. x 1 2 1 1 f(1) dir. x 1 2 Hepsi birbirine eşit olmadığından, x 1 noktasın – da fonksiyon süreksizdir.                     61 2 3x n , x 1 ise x 1 m 2 , f(x) x 1 ise log (5x k) , x 1 ise fonksiyonu gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre, m.n.k çarpımı kaçtır? A) 9 B) 6 C) 3 D) 1 E) 9                   www.matematikkolay.net x 1 x 1 Çözüm: Süreklilik için, lim f(x) lim f(x) f(1) Bu eşitlik sağlanmalıdır. İlk önce soldan limite bakalım. 3x n fomksiyonunda x 1 için, payda 0 oluyor. x 1 Limitin varlığı için payda da 0 olmalıdı           x 1 x 1 x 1 r. 3x n 0 3.1 n 0 n 3 tür. Buna göre; 3x 3 3(x 1) lim f(x) lim lim x 1                    x 1 2 2 x 1 x 1 8 3 tür. Diğer eşitlikler de 3 e eşit olmalıdır. lim f(x) limlog (5x k) log (5 k) 3 k 3 f(1) 3 m 2 3 m 1 dir. O halde; m.n.k 1.( 3).3 9 buluruz.                       62 2 x a , x 1 ise f(x) x 1 bx 2 , x 1 ise fonksiyonu gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 4               www.matematikkolay.net x 1 x 1 2 Çözüm: Süreklilik için, lim f(x) lim f(x) f(1) Bu eşitlik sağlanmalıdır. İlk önce soldan limite bakalım. x a fonksiyonunda x 1 için, payda 0 oluyor. x 1 Limitin varlığı için payda da 0 olmalıdı           2 2 x 1 x 1 x 1 r. x a 0 1 a 0 a 1 dir. Buna göre; x 1 (x 1) lim f(x) lim lim x 1                    (x 1) x 1   x 1 x 1 1 1 2 dir. Diğer eşitlikler de 2′ ye eşit olmalıdır. lim f(x) lim(bx 2) b 2 2 b 4 tür. O halde; a.b 1.4 4 buluruz.                   63 www.matematikkolay.net 2 x 3 x 4 , x 2 ise x 2 f(x) ax 1 , x 2 ise b.3 , x 2 ise biçiminde tanımlanan f fonksiyonu x 2 apsisli noktada süreklidir. Buna göre, a b toplamı kaç                  tır? 17 8 5 8 17 A) B) C) D) E) 6 3 2 3 6    www.matematikkolay.net x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Çözüm: Süreklilik için, lim f(x) lim f(x) f(2) Bu eşitlik sağlanmalıdır. İlk önce soldan limite bakalım. |x 4| |x 2||x 2| lim f(x) lim lim x 2 x 2 |x 2||x 2| (x 2) lim x 2                              (x 2) x 2   |x 3| |2 3| x 2 x 2 (2 2) 4 Diğer eşitlikler de 4’e eşit olmalıdır. f(2) 4 ax 1 4 2a 1 4 3 2a 3 a 2 lim f(x) limb.3 b.3 4                                 (3) (2) 4 b.3 4 b tür. 3 O halde; 3 4 9 8 17 a b buluruz. 2 3 6 6 6                64 2 f(x) x kx k 3 fonksiyonu x R için sürekli olduğuna göre, k’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) 15       www.matematikkolay.net 2 Çift dereceli köklü ifadenin içi negatif olamaz. Eğer negatif olursa, fonksiyon tanımsız olur ve sürek – liliği kaybeder. Bu sebeple; x kx k 3 0 olmalıdır. Bu denklemin iki farklı kökü olursa, bu ifade     2 2 2 2 2 ( 6).(2) pozitif veya negatif değerler alabilir. Bu sebeple iki farklı kökü olmamalıdır. Bu da 0 olursa sağlanır. ( b 4ac) b 4ac 0 (ax bx c 0 denklemi için) k 4.(k 3) 0 k 4k 12 0 (k 6)(k                   2) 0 k değeri 2 ile 6 arasında olmalıdır. ( 2 ve 6 dahil) 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 toplamları 18 buluruz.          65   f(x) |2x 1| |x 1| fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme nedir? 1 1 A) 1 , B) R C) R 1 2 2 D) E) R                     x 1 x 1 Çözüm: |2x 1| |x 1| x 1 ise f(x) 1 2x x 1 3x tir. 1 1 x ise f(x) 1 2x x 1 2 x tir. 2 1 x ise f(x) 2x 1 x 1 3x tir. 2 Kritik noktalardaki sürekliliği inceleyelim. lim f(x) lim f(x) f(                                 1 1 x x 2 2 1 ) 3 1 3 lim f(x) lim f(x) f( ) dir. 2 2 Kritik noktalarda da süreklilik bozulmuyor. Cevap: R            67