Parçalı fonksiyonlarda limit, limitin varlığı

3 x , x 1 f(x) x 2 , x 1 fonksiyonunun x 1 noktasındaki limitini bulunuz.         x 1 2 2 x 1 Çözüm: Sağdan ve soldan limitlerine bakalım. lim x 2 1 2 1 lim x 1 1 Sağdan ve soldan limiti aynı olduğu için x 1 noktasında limiti var dır ve 1’e eşittir. Cevap: 1              3 2 x 2 3 x m 3x lim x 8 limitinin değeri bir gerçek sayı olduğuna göre m ? A) 12 B) 16 C) 24 D) 28 E) 32      www.matematikkolay.net    2 x 2 3 2 x 2 3 2 x 2 2 2 Çözüm: x m 3x lim c R olsun. x 8 x m 3x lim ifadesinde limitin gerçek sayı olması x 8 için paydayı 0′ yapan ifadenin sadeleşmesi lazım. x m 3x lim x 2 x 2x 4 x m 3x ile x 2 sadeleşmeli. Yani ifa                    2 de x 2 ye tam bölünmeli x 2 0 x 2 dir 2 m 3.2 0 m 4 6 m 4 36 m 32 bulunur.                 33 2 x 2 2 n gerçel sayısı için, x 5 m lim n eşitliği veriliyor. x 4 Buna göre, m.n çarpımı kaçtır? 1 1 1 1 2 A) B) C) D) E) 3 2 3 2 3        2 2 x 2 2 x 2 2 2 2 x 2 Çözüm: x 5 m x 5 m lim n lim n x 4 (x 2)(x 2) x 2 çarpanı sadeleşebilmelidir. Yani x 2 için pay kısmı da 0 olmalıdır. x 2 x 5 m 0 2 5 m 0 4 5 m 0 9 m 0 m 3 tür. x 5 3 lim                                     2 2 x 2 2 x 2 0 L’hospital uygulayabiliriz. x 4 0 2x x 5 3 lim lim  x 4         2 2 x 5 2x  x 2 2 2 1 lim 2 x 5 1 1 1 1 buluruz. 2 2 5 2 9 2.3 6 Buna göre; 1 1 m.n 3 buluruz. 6 2              www.matematikkolay.net 46 www.matematikkolay.net 2 x 2 ax 2 , x 2 ise f(x) x 3 x ax b , x 2 ise fonksiyonu veriliyor. lim f(x) 1 olduğuna göre, b kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2                 x 2 2 Çözüm: limf(x) 1 Sağdan ve soldan 1 değerini vermelidir. ax 2 x 2 için 1 ise; x 3 2a 2 2a 2 3 1 1 2a 2 1 a dir. 2 3 1 2 Aynı şekilde; x 2 için x ax b 1 ise; 4 2a b 1 3 4 2 ( ) b 1 2 4 3 b 1                                       b  0 buluruz. 51 2 x 3 a ve b birer gerçek sayıdır. x ax b lim 2 x 3 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır?       www.matematikkolay.net 2 x 3 2 Çözüm: x ax b lim 2 x 3 x 3 değeri paydayı 0 yapıyor. Limitin olabilmesi 0 için belirsizliği olmalıdır. Yani pay kısmı x 3 için 0 0 olmalıdır. x 3 için, x ax b 0 9 3a b 0                2 x 3 2 x 3 x 3 x 3 b 3a 9 dir. x ax 3a 9 lim 2 x 3 x 9 ax 3a lim 2 x 3 (x 3)(x 3) a(x 3) lim 2 x 3 (x 3) lim                        (x 3 a) x 3    x 3 2 lim(x 3 a) 2 3 3 a 2 6 a 2 a 4 9 3a b 9 3.4 b 9 12 b b 3 tür. a b 4 3 7 buluruz.                             54 x 0 cosx lim limitinin değeri kaçtır? x A) Yok B) 1 C) 0 D) 1 E)    www.matematikkolay.net x 0 x 0 Çözüm: cosx 1 soldan; lim x 0 cosx 1 sağdan; lim x 0 Sağdan ve soldan limitler farklı Limit yoktur.              77 2 2 x y x y 18 lim k olduğuna göre, k reel sayısının x y alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 12 B) 6 C) 0 D) 6 E) 12        www.matematikkolay.net 2 2 x y 2 2 2 2 2 2 Çözüm: x y 18 lim k x y 0 Bu ifadede belirsizliği oluşursa bir limit elde 0 edilebilir. Bu sebeple; x y için x y 18 0 olacaktır. y y 18 0 2y 18 y 9                   2 2 2 x 3 x 3 3 2 2 2 x 3 x 3 3 y 3 tür. y 3 olursa; x 3 18 x 9 k lim lim x 3 6 dır. x 3 x 3 y 3 olursa; x 3 18 x 9 k lim lim x 3 6 dır. x 3 x 3 Toplamları 0 buluruz.                                  83 x 2 n bir gerçek sayı olmak üzere, |mx 12| lim n x 2 olduğuna göre, m n farkı kaçtır? A) 12 B) 6 C) 0 D) 6 E) 12         x 2 x 2 x 2 x 2 Çözüm: |mx 12| lim n kesri sadeleşebilmelidir. x 2 m 6 olursa, kesir sadeleşir. |6x 12| 6|x 2| 6 (2 x) lim lim lim x 2 x 2                    1 x 2   6 dır. m n 6 ( 6) 12 buluruz.        28